Se theta=arctg(raiz3)-arccos (raiz32), determine
cos (2 theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o valor de cos(2theta), onde theta é definido por . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas inversas e identidades trigonométricas, então vamos precisar entender bem como essas funções funcionam e como aplicar as fórmulas de ângulos duplos para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de . A função nos dá o ângulo cujo tangente é arctg(raiz3). Sabemos que arctg(x), então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de arccos(raiz32). A função arccos(x) nos dá o ângulo cujo cosseno é x. Sabemos que cos(pi6) = raiz32, então:
arccos(raiz32) = pi6

Passo 4

Com os valores encontrados, podemos calcular theta:

Passo 5

Agora, precisamos determinar cos(2theta). Para isso, vamos usar a fórmula do ângulo duplo para o cosseno:
cos(2theta) = 2cos^2(theta) - 1
Sabemos que theta = pi6, então primeiro encontramos cos(pi6):
cos(pi6) = raiz32
Substituindo na fórmula:
cos(2theta) = 2(raiz32)^2 - 1 = 2(34) - 1 = 32 - 1 = 12

Resposta

cos(2theta) = 12

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