Determine:
sen(arctg(12)+arctg(13))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. A questão pede para a gente encontrar o valor de sin(arctan(12) + arctan(13)). Isso está relacionado com trigonometria, especificamente com funções trigonométricas inversas e a soma de ângulos. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de seno da soma de dois ângulos e entender um pouco sobre arctangente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar arctan(12) de alpha e arctan(13) de beta. Assim, o que queremos encontrar é sin(alpha + beta).

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do seno da soma de dois ângulos:
sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta
Vamos usar essa fórmula para calcular sin(alpha + beta).

Passo 4

Para aplicar a fórmula, precisamos encontrar sin alpha, cos alpha, sin beta e cos beta. Como alpha = arctan(12) e beta = arctan(13), podemos imaginar triângulos retângulos para encontrar essas funções trigonométricas.

Passo 5

Vamos começar com alpha = arctan(12). Isso significa que em um triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo alpha é 1 e o cateto adjacente é 2. Usando o Teorema de Pitágoras, a hipotenusa será raiz1^2 + 2^2 = raiz5.
Então:
sin alpha = 1raiz5, cos alpha = 2raiz5

Passo 6

Agora, para beta = arctan(13). Aqui, o cateto oposto é 1 e o adjacente é 3. A hipotenusa é raiz1^2 + 3^2 = raiz10.
Então:
sin beta = 1raiz10, cos beta = 3raiz10

Passo 7

Agora que temos todos os valores necessários, vamos substituir na fórmula:
sin(alpha + beta) = (1raiz5) (3raiz10) + (2raiz5) (1raiz10)
Calculando cada termo:
1 times 3raiz5 times raiz10 = 3raiz50, 2 times 1raiz5 times raiz10 = 2raiz50
Somando:
3raiz50 + 2raiz50 = 5raiz50 = 55raiz2 = 1raiz2 = raiz22

Resposta

sin(arctan(12) + arctan(13)) = raiz22

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