Sabendo que x=arcsen(513) e y=arccos (-45), determine:
tg(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria juntos! A gente precisa achar o valor de tg(x + y), onde e x = arcsen(513). Para isso, vamos usar algumas fórmulas trigonométricas e entender um pouco sobre funções inversas como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que x = arcsen(513) é o ângulo cujo seno é x. Para facilitar, imaginemos um triângulo retângulo onde um dos ângulos é 513. Nesse triângulo:
  • O cateto oposto a x tem comprimento 5.
  • A hipotenusa tem comprimento 13.
Agora, vamos encontrar o valor de x usando o teorema de Pitágoras:
cos(x)
Isso porque cos(x) = cateto adjacentehipotenusa = 1213 .

Passo 3

Agora, vamos analisar y = arccos(-45). Isso significa que y é o ângulo cujo cosseno é -45. Vamos imaginar outro triângulo retângulo para facilitar:
  • O cateto adjacente a y tem comprimento 4 (mas como o cosseno é negativo, estamos em um quadrante onde o cosseno é negativo).
  • A hipotenusa tem comprimento 5.
Vamos encontrar o valor de sin(y) usando o teorema de Pitágoras:
sin(y) = cateto opostohipotenusa = 35
Isso porque 3 = raiz5^2 - 4^2.

Passo 4

Agora que temos sin(x), cos(x), sin(y) e cos(y), podemos usar a fórmula para tg(x + y):
tg(x + y) = tg(x) + tg(y)1 - tg(x)tg(y)
Primeiro, vamos encontrar tg(x) e tg(y):
tg(x) = sin(x)cos(x) = 5131213 = 512
tg(y) = sin(y)cos(y) = 35-45 = -34

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula:
tg(x + y) = 512 + (-34)1 - (512 times -34) = 512 - 9121 + 1548 = -4122116 = -13 times 1621 = -1663

Resposta

tg(x + y) = -1663

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