Se theta=arctg(raiz3)-arccos (raiz32), determine
tg(2 theta)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um ângulo theta definido por duas funções trigonométricas inversas:
E queremos descobrir o valor de theta = arctg(raiz3) - arccos(raiz32) . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções trigonométricas inversas e a fórmula da tangente do dobro do ângulo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular cada parte que compõe o theta.
  1. : A função (ou arco-tangente) nos dá o ângulo cujo tangente é arctg(raiz3).
  2. arctg: A função raiz3 (ou arco-cosseno) nos dá o ângulo cujo cosseno é arccos(raiz32).

Passo 3

Vamos encontrar os valores desses ângulos:
  1. : Sabemos que arctg(raiz3). Então,
  1. tan(pi3) = raiz3: Sabemos que arctg(raiz3) = pi3 . Então,
arccos(raiz32)

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na expressão de theta:
theta = pi3 - pi6
Para subtrair essas frações, precisamos ter o mesmo denominador.
theta = 2pi6 - pi6 = pi6

Passo 5

Agora que sabemos que theta = pi6, vamos usar a fórmula da tangente do dobro do ângulo para encontrar tan(2theta).
A fórmula é:
tan(2theta) = 2 tan theta1 - tan^2 theta

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar tan theta.
Como theta = pi6,
tan(pi6) = 1raiz3
Agora, substituímos na fórmula:
tan(2theta) = 2 cdot 1raiz31 - (1raiz3)^2 = 2raiz31 - 13 = 2raiz323 = 2raiz3 cdot 32 = raiz3

Resposta

O valor de tan(2theta) é raiz3.

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