Determine:
Sendo
, encontre uma fórmula para a
-ésima derivada de
, para todo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede uma fórmula para a
-ésima derivada
. Vamos usar o fato de que
e
.
Passo 2
Calculando as primeiras derivadas para ver o padrão:
Percebe-se que aparece sempre
e
, com sinal alternado em cada derivada.
Passo 3
Com base nesses casos, propomos que, para todo
, vale
Passo 4
Agora confirmamos por indução:
- Base
:
, confere. - Passo indutivo: suponha verdadeiro para
, ou seja
.
Então
que é exatamente a fórmula proposta para
.