Determine:
(1,0) Sendo f(x)=e^a x+e^-b x, encontre uma fórmula para a n-ésima derivada de f, f^(n)(x), para todo n.
f^prime(x) & =a e^a x-b e^-b x f^prime prime(x) & =a^2 e^a x+b^2 e^-b x f^prime prime prime(x) & =a^3 e^a x-b^3 e^-b x f^(4)(x) & =a^4 e^a x+b^4 e^-b x vdots & f^(n)(x) & =a^n e^a x+(-1)^n b^n e^-b x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^a x+e^-b x
e pede uma fórmula para a n-ésima derivada f^(n)(x). Vamos usar o fato de que
ddxe^a x=a,e^a x e ddxe^-b x=-b,e^-b x.

Passo 2

Calculando as primeiras derivadas para ver o padrão:
f'(x)=a,e^a x-b,e^-b x,
f''(x)=a^2,e^a x+b^2,e^-b x,
f^(3)(x)=a^3,e^a x-b^3,e^-b x,
f^(4)(x)=a^4,e^a x+b^4,e^-b x
Percebe-se que aparece sempre a^n e^a x e (pm b^n)e^-b x, com sinal alternado em cada derivada.

Passo 3

Com base nesses casos, propomos que, para todo n>=1, vale
f^(n)(x)=a^ne^a x+(-1)^nb^ne^-b x

Passo 4

Agora confirmamos por indução:
  • Base n=1:
    ,f'(x)=a^1 e^a x+(-1)^1b^1e^-b x, confere.
  • Passo indutivo: suponha verdadeiro para n, ou seja
    ,f^(n)(x)=a^ne^a x+(-1)^nb^ne^-b x.
    Então f^(n+1)(x) =ddxl[a^ne^a xr] +ddxl[(-1)^nb^ne^-b xr] =a^n+1e^a x+(-1)^nb^n(-b)e^-b x,
f^(n+1)(x)=a^n+1e^a x+(-1)^n+1b^n+1e^-b x,
que é exatamente a fórmula proposta para n+1.

Resposta

f^(n)(x)=a^ne^a x+(-1)^nb^ne^-b x

Exercícios relacionados