Problema 03 Calcular a derivada.
f(x)=e^2 x cos 3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^2xcos(3x)
O conteúdo aqui é a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar e^2x e cos(3x).

Passo 2

Pela regra do produto, se f(x)=u(x),v(x) então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Aqui u(x)=e^2x e v(x)=cos(3x), logo
f'(x)=l(e^2xr)'cos(3x)+e^2xl(cos(3x)r)'

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em cada derivada:
  • Para u(x)=e^2x, temos u'(x)=ddxl(e^2xr)=2,e^2x
  • Para v(x)=cos(3x), temos v'(x)=ddxl(cos(3x)r)=-sin(3x)cdot3=-3sin(3x)

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=u'(x)cos(3x)+e^2x,v'(x)
fica
f'(x)=2e^2xcos(3x)+e^2xl(-3sin(3x)r) =2e^2xcos(3x)-3e^2xsin(3x)
Podemos ainda fatorar e^2x:
f'(x)=e^2xl(2cos(3x)-3sin(3x)r)

Resposta

f'(x)=e^2xl(2cos(3x)-3sin(3x)r)

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