Exercício 17 (F.2.3 ex.2)
Usando o Teorema de Integração de Série de Fourier provado em sala de aula e o item vii) do exercício 15 acima, mostre que:
i)
.
ii)
.
Usando os resultados acima, mostre que
.
Usando o Teorema de Integração de Série de Fourier provado em sala de aula e o item vii) do exercício 15 acima, mostre que:
i)
ii)
Passo 1
Estamos em “Integração de Séries de Fourier”. Pelo item (vii) do exercício 15 sabemos que, para
, vale a expansão em série de Fourier de
Usaremos o Teorema de Integração de Série de Fourier para integrar termo a termo essa série e obter as fórmulas pedidas em (i) e (ii), e em seguida encontraremos
.
Passo 2
Integramos de
a
ambos os lados de
No lado esquerdo
No lado direito
Portanto
Multiplicando por 3, obtemos a parte (i).
Passo 3
Multiplicando por 3 na igualdade do passo anterior, chega-se a
que se rearranja em
Isto é exatamente o enunciado de (i).
Passo 4
Agora integramos de
a
a identidade de (i):
No lado esquerdo
No lado direito, trocando soma e integral,
Multiplicando tudo por 4,
Para identificar o termo constante, avalia-se em
, onde o lado esquerdo é 0 e
, obtendo
que, reagrupando, fixa
onde usamos a soma alternada que será obtida no próximo passo. Substituindo no anterior, chega-se à parte (ii):
Passo 5
Para achar
, basta avaliar (ii) em
. Visto que
, o lado esquerdo é
e o direito é
Igualando ambos:
Resposta
i)
.
ii)
Além disso,
ii)
Além disso,