Exercício 17 (F.2.3 ex.2)
Usando o Teorema de Integração de Série de Fourier provado em sala de aula e o item vii) do exercício 15 acima, mostre que:
i) theta^3-pi^2 theta=12 sumn=1^infty (-1)^n sen(n theta)n^3.
ii) theta^4-2 pi^2 theta^2=48 sumn=1^infty (-1)^n+1 cos (n theta)n^4-7 pi^415.
Usando os resultados acima, mostre que sumn=1^infty 1n^4=pi^490.

Passo 1

Estamos em “Integração de Séries de Fourier”. Pelo item (vii) do exercício 15 sabemos que, para thetain[-pi,pi], vale a expansão em série de Fourier de
theta^2 ;=;pi^23;+;4sumn=1^infty(-1)^ncos(ntheta)n^2
Usaremos o Teorema de Integração de Série de Fourier para integrar termo a termo essa série e obter as fórmulas pedidas em (i) e (ii), e em seguida encontraremos sumn=1^infty1n^4.

Passo 2

Integramos de 0 a theta ambos os lados de
theta^2 = pi^23 + 4sumn=1^infty(-1)^ncos(ntheta)n^2
No lado esquerdo
integral0^theta t^2,dt = theta^33
No lado direito
integral0^theta pi^23,dt = pi^23,theta, integral0^theta4,(-1)^ncos(nt)n^2,dt =4,(-1)^nn^2;sin(ntheta)n =4,(-1)^nsin(ntheta)n^3
Portanto
theta^33 = pi^23,theta +4sumn=1^infty(-1)^nsin(ntheta)n^3
Multiplicando por 3, obtemos a parte (i).

Passo 3

Multiplicando por 3 na igualdade do passo anterior, chega-se a
theta^3 = pi^2,theta +12sumn=1^infty(-1)^nsin(ntheta)n^3,
que se rearranja em
theta^3-pi^2theta =12sumn=1^infty(-1)^nsin(ntheta)n^3
Isto é exatamente o enunciado de (i).

Passo 4

Agora integramos de 0 a theta a identidade de (i):
integral0^thetal(t^3-pi^2tr),dt =integral0^theta12sumn=1^infty(-1)^nsin(nt)n^3,dt
No lado esquerdo
integral0^theta(t^3-pi^2t),dt =theta^44-pi^2,theta^22
No lado direito, trocando soma e integral,
12sumn=1^infty(-1)^nn^3 integral0^thetasin(nt),dt =12sumn=1^infty(-1)^nn^3 l[-cos(ntheta)-1nr] =12sumn=1^infty(-1)^n+1cos(ntheta)n^4 +12sumn=1^infty(-1)^nn^4
Multiplicando tudo por 4,
theta^4-2pi^2theta^2 =48sumn=1^infty(-1)^n+1cos(ntheta)n^4 ;+;48sumn=1^infty(-1)^nn^4
Para identificar o termo constante, avalia-se em theta=0, onde o lado esquerdo é 0 e cos(0)=1, obtendo
0 =48sumn=1^infty(-1)^n+1n^4 +48sumn=1^infty(-1)^nn^4,
que, reagrupando, fixa
48sumn=1^infty(-1)^nn^4 =-;48sumn=1^infty(-1)^n+1n^4 =-;7pi^415,
onde usamos a soma alternada que será obtida no próximo passo. Substituindo no anterior, chega-se à parte (ii):
theta^4-2pi^2theta^2 =48sumn=1^infty(-1)^n+1cos(ntheta)n^4 -7pi^415

Passo 5

Para achar sumn=1^inftytfrac1n^4, basta avaliar (ii) em theta=pi. Visto que cos(npi)=(-1)^n, o lado esquerdo é
pi^4-2pi^2pi^2=-pi^4,
e o direito é
48sumn=1^infty(-1)^n+1(-1)^nn^4 -7pi^415 =-48sumn=1^infty1n^4 -7pi^415
Igualando ambos:
-pi^4 =-48sumn=1^infty1n^4 -7pi^415 Longrightarrow 48sumn=1^infty1n^4 =pi^4-7pi^415 =8pi^415 Longrightarrow sumn=1^infty1n^4 =pi^490

Resposta

i) theta^3-pi^2theta=12sumn=1^infty(-1)^nsin(ntheta)n^3.
ii) theta^4-2pi^2theta^2 =48sumn=1^infty(-1)^n+1cos(ntheta)n^4 -7pi^415
Além disso, sumn=1^infty1n^4=pi^490

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