Questão 3 (2,0 pontos)
Resolva a EDO de Bernoulli (2 pontos)
y^prime+y=y^3 e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de Bernoulli
y' + y = y^3e^-x
Esse tipo de equação tem a forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
onde aqui P(x)=1, Q(x)=e^-x e n=3. Para tratar a não-linearidade, vamos usar a substituição padrão de Bernoulli.

Passo 2

Definimos a nova função
u = y^1-n = y^-2
Agora precisamos relacionar u' com y'. Como u=y^-2,
u' = -2,y^-3,y'

Passo 3

Isolando y' da equação original e substituindo em u':
da EDO
y' + y = y^3e^-x
vem
y' = -y + y^3e^-x
Logo
u' = -2,y^-3l(-y + y^3e^-xr) = 2,y^-2 -2,e^-x = 2,u -2,e^-x
Reorganizando, obtemos uma EDO linear em u:
u' - 2,u = -2,e^-x

Passo 4

Para resolver
u' - 2u = -2e^-x,
usamos fator integrante mu(x)=e^-2x. Multiplicando a equação por mu:
l(u,e^-2xr)' = -2,e^-xe^-2x = -2,e^-3x
Integramos em x:
u,e^-2x = integral -2,e^-3x,dx = tfrac23,e^-3x + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando a u e depois a y:
u = y^-2 = tfrac23,e^-3xe^2x + C,e^2x = tfrac23,e^-x + C,e^2x
Assim
y^-2 = tfrac23,e^-x + C,e^2x Longrightarrow y = pml(tfrac23,e^-x + C,e^2xr)^-tfrac12

Resposta

y(x) = pml(tfrac23,e^-x + C,e^2xr)^-tfrac12,
onde C é constante de integração.

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