[IC mu] Determine se as sentenças são verdadeiras ou falsas…
Determine se as sentenças são verdadeiras ou falsas. Considere que os dados seguem distribuição normal.
  1. Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com n=15 e se desconhece, deve-se usar a tabela t.
  2. Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com \mathrm{n}=15 \mathrm{e}, deve-se usar a tabela t .
  3. Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com \mathrm{n}=40 e se desconhece, pode-se usar a tabela z .
    ◯ 1-F; 2-F; 3-F
    ◯ 1-F; 2-F; 3-V
    ◯ 1-V; 2-F; 3-F
    1-\mathrm{V} ; 2-\mathrm{F} ; 3-\mathrm{V}
    1-\mathrm{V} ; 2-\mathrm{V} ; 3-\mathrm{V}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede. Os dados fornecidos são:
  • Os dados seguem distribuição normal.
  • Três sentenças a avaliar como verdadeiras (V) ou falsas (F):
    1. Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com n=15 e se desconhece, deve-se usar a tabela t.
    2. Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com n=15 e (texto ambíguo no enunciado), deve-se usar a tabela t.
    3. Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com n=40 e se desconhece, pode-se usar a tabela z.
Observação importante (apenas para evitar ambiguidade): o enunciado usa a expressão “se desconhece” sem dizer explicitamente o que está desconhecido; a interpretação usual nesses problemas é que está se referindo ao desvio padrão populacional \sigma (ou seja, \sigma é desconhecido). Vou usar essa interpretação para avaliar as sentenças, que é a interpretação padrão em Estatística.

Passo 2

Conceitos essenciais e fórmulas (aula rápida e prática):
  • Intervalo de confiança para a média quando \sigma é conhecido (usamos z): \bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},onde \bar{x} é a média amostral, z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança, \sigma é o desvio-padrão populacional e n é o tamanho da amostra.
  • Intervalo de confiança para a média quando \sigma é desconhecido (usamos t, distribuição t de Student): \bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,\nu}\,\frac{s}{\sqrt{n}},onde s é o desvio-padrão amostral (estimativa de \sigma), t_{\alpha/2,\,\nu} é o quantil da distribuição t com \nu graus de liberdade e tipicamente \nu=n-1.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x}: média da amostra (número que se calcula a partir dos dados).
  • n: tamanho da amostra.
  • \sigma: desvio-padrão da população (se conhecido).
  • s: desvio-padrão da amostra (usado quando \sigma é desconhecido).
  • z_{\alpha/2}: número da tabela normal padrão para a cauda \alpha/2.
  • t_{\alpha/2,\nu}: número da tabela t para cauda \alpha/2 com \nu graus de liberdade.
  • \nu: graus de liberdade (normalmente \nu=n-1 quando usamos s).

Passo 3

Regra prática para escolher z ou t (o que cai na prova normalmente):
  • Se \sigma é conhecido: usar a distribuição normal (tabela z), qualquer que seja n.
  • Se \sigma é desconhecido:
    • Se a população é normal e n é pequeno (regra de bolso: n<30), usa-se a distribuição t com \nu=n-1. Isso é exato quando a população é normal.
    • Se \sigma é desconhecido, mas n é grande (regra de bolso: n\ge 30), pode-se usar a aproximação pelo z (teorema do limite central): o erro de usar z em vez de t é pequeno quando n é grande, porque t aproxima a normal padrão conforme n cresce.
Importante didático: quando a população é normal e \sigma é desconhecido, a estatística
\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}
segue exatamente uma distribuição t com \nu=n-1. Portanto, para pequena amostra e normalidade, o certo (teoricamente) é usar t. Para amostras grandes, na prática usa-se z como aproximação.

Passo 4

Aplicando as regras às sentenças:
  • Sentença 1: “com n=15 e \sigma desconhecido, deve-se usar a tabela t.”
    • Aqui temos amostra pequena ( n=15<30) e \sigma desconhecido. Pela regra exata (população normal), usa-se t com \nu=n-1=14. Conclusão: a sentença 1 é verdadeira.
  • Sentença 2: o enunciado está truncado/ambíguo, mas as alternativas indicam que a intenção é comparar um caso onde alguém afirmaria usar t de modo incorreto para n=15. A interpretação correta para tornar a sentença falsa seria: "com n=15 e \sigma conhecido, deve-se usar a tabela t" — isso seria falso porque, quando \sigma é conhecido, usa-se z. Então, sob a interpretação padrão (para que exista uma resposta falsa possível), a sentença 2 é falsa. Em outras palavras: se \sigma fosse conhecido não se usa t.
  • Sentença 3: “com n=40 e \sigma desconhecido, pode-se usar a tabela z.”
    • Aqui n=40 é grande ( n\ge 30), então, mesmo com \sigma desconhecido, a substituição de s por \sigma e o uso da distribuição normal é geralmente aceito (aproximação via Teorema do Limite Central); o t e o z ficam muito próximos quando n é grande. Logo a sentença 3 é verdadeira (a frase diz “pode-se usar”, que permite a aproximação). Conclusão: sentença 3 é verdadeira.

Passo 5

Resumo final das avaliações (motivação curta):
  • Sentença 1: verdadeira — n=15 (pequena) + \sigma desconhecido \Rightarrow usar t.
  • Sentença 2: falsa — se a intenção é dizer que com n=15 e \sigma conhecido se deve usar t, isso é incorreto (usar-se-ia z).
  • Sentença 3: verdadeira — n=40 (grande) e \sigma desconhecido: é aceitável usar z como aproximação.
Força aí — você já tem a regra prática: pequeno + \sigma desconhecido → t; grande → z pode ser usado mesmo sem conhecer \sigma.

Resposta

1-\mathrm{V} ; 2-\mathrm{F} ; 3-\mathrm{V}

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