[IC mu] Determine se as sentenças são verdadeiras ou falsas…
Determine se as sentenças são verdadeiras ou falsas. Considere que os dados seguem distribuição normal.
- Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com
e se desconhece, deve-se usar a tabela t.
- Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com
, deve-se usar a tabela t .
- Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com
e se desconhece, pode-se usar a tabela z .
◯ 1-F; 2-F; 3-F
◯ 1-F; 2-F; 3-V
◯ 1-V; 2-F; 3-F
◯
◯
◯ 1-F; 2-F; 3-F
◯ 1-F; 2-F; 3-V
◯ 1-V; 2-F; 3-F
◯
◯
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede. Os dados fornecidos são:
- Os dados seguem distribuição normal.
- Três sentenças a avaliar como verdadeiras (V) ou falsas (F):
- Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com
e se desconhece, deve-se usar a tabela . - Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com
e (texto ambíguo no enunciado), deve-se usar a tabela . - Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com
e se desconhece, pode-se usar a tabela .
- Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com
Observação importante (apenas para evitar ambiguidade): o enunciado usa a expressão “se desconhece” sem dizer explicitamente o que está desconhecido; a interpretação usual nesses problemas é que está se referindo ao desvio padrão populacional
(ou seja,
é desconhecido). Vou usar essa interpretação para avaliar as sentenças, que é a interpretação padrão em Estatística.
Passo 2
Conceitos essenciais e fórmulas (aula rápida e prática):
- Intervalo de confiança para a média quando
é conhecido (usamos ): onde é a média amostral, é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança, é o desvio-padrão populacional e é o tamanho da amostra. - Intervalo de confiança para a média quando
é desconhecido (usamos , distribuição t de Student): onde é o desvio-padrão amostral (estimativa de ), é o quantil da distribuição com graus de liberdade e tipicamente .
Explicando cada símbolo:
-
: média da amostra (número que se calcula a partir dos dados). -
: tamanho da amostra. -
: desvio-padrão da população (se conhecido). -
: desvio-padrão da amostra (usado quando é desconhecido). -
: número da tabela normal padrão para a cauda . -
: número da tabela para cauda com graus de liberdade. -
: graus de liberdade (normalmente quando usamos ).
Passo 3
Regra prática para escolher
ou
(o que cai na prova normalmente):
- Se
é conhecido: usar a distribuição normal (tabela ), qualquer que seja . - Se
é desconhecido: - Se a população é normal e
é pequeno (regra de bolso: ), usa-se a distribuição com . Isso é exato quando a população é normal. - Se
é desconhecido, mas é grande (regra de bolso: ), pode-se usar a aproximação pelo (teorema do limite central): o erro de usar em vez de é pequeno quando é grande, porque aproxima a normal padrão conforme cresce.
- Se a população é normal e
Importante didático: quando a população é normal e
é desconhecido, a estatística
segue exatamente uma distribuição
com
. Portanto, para pequena amostra e normalidade, o certo (teoricamente) é usar
. Para amostras grandes, na prática usa-se
como aproximação.
Passo 4
Aplicando as regras às sentenças:
-
Sentença 1: “com
e desconhecido, deve-se usar a tabela .” - Aqui temos amostra pequena (
) e desconhecido. Pela regra exata (população normal), usa-se com . Conclusão: a sentença 1 é verdadeira.
- Aqui temos amostra pequena (
-
Sentença 2: o enunciado está truncado/ambíguo, mas as alternativas indicam que a intenção é comparar um caso onde alguém afirmaria usar
de modo incorreto para . A interpretação correta para tornar a sentença falsa seria: "com e conhecido, deve-se usar a tabela " — isso seria falso porque, quando é conhecido, usa-se . Então, sob a interpretação padrão (para que exista uma resposta falsa possível), a sentença 2 é falsa. Em outras palavras: se fosse conhecido não se usa . -
Sentença 3: “com
e desconhecido, pode-se usar a tabela .” - Aqui
é grande ( ), então, mesmo com desconhecido, a substituição de por e o uso da distribuição normal é geralmente aceito (aproximação via Teorema do Limite Central); o e o ficam muito próximos quando é grande. Logo a sentença 3 é verdadeira (a frase diz “pode-se usar”, que permite a aproximação). Conclusão: sentença 3 é verdadeira.
- Aqui
Passo 5
Resumo final das avaliações (motivação curta):
- Sentença 1: verdadeira —
(pequena) + desconhecido usar . - Sentença 2: falsa — se a intenção é dizer que com
e conhecido se deve usar , isso é incorreto (usar-se-ia ). - Sentença 3: verdadeira —
(grande) e desconhecido: é aceitável usar como aproximação.
Força aí — você já tem a regra prática: pequeno +
desconhecido →
; grande →
pode ser usado mesmo sem conhecer
.
Resposta
◯