[Dist HGeo] De uma caixa contendo dez peças …
De uma caixa contendo dez peças, das quais três são defeituosas, selecionam-se duas peças ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que nenhuma seja defeituosa?
◯ 0,35
◯ 0,53
◯ 0,65
◯ 0,47
◯ 0,75

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Uma caixa com 10 peças no total.
  • Destas, 3 são defeituosas.
  • Selecionam-se 2 peças sem reposição (ou seja, a segunda retirada é feita a partir do que sobrou depois da primeira).
    O que se pede:
  • Calcular a probabilidade de que nenhuma das duas peças selecionadas seja defeituosa (isto é, ambas sejam boas).

Passo 2

Vou resolver primeiro com a ideia mais direta e básica: raciocínio sequencial (probabilidades condicionais).
Defina o evento desejado como “as duas peças retiradas são boas”. Há 7 peças boas no total porque 10-3=7.
Passo a passo do raciocínio:
  • Probabilidade de a primeira peça ser boa: \dfrac{7}{10}.
    Explicação: das 10 peças, 7 são boas, então a chance de tirar uma boa na primeira vez é \dfrac{7}{10}.
  • Dado que a primeira foi boa, resta uma boa a menos e o total de peças passa a ser 9. Então a probabilidade de a segunda também ser boa, condicionada à primeira ter sido boa, é \dfrac{6}{9}.
    Explicação: agora há 6 peças boas entre as 9 restantes.
  • Como queremos que ambas ocorram (primeira boa E segunda boa), multiplicamos as probabilidades condicionais:
\text{Probabilidade} = \dfrac{7}{10}\times\dfrac{6}{9}.

Passo 3

Calcule o produto e simplifique:
\dfrac{7}{10}\times\dfrac{6}{9}=\dfrac{42}{90}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 6:
\dfrac{42}{90}=\dfrac{7}{15}.
Agora converte para decimal (para comparar com as alternativas):
\dfrac{7}{15}=0{,}4666\ldots\approx 0{,}47.
Então a probabilidade procurada é \dfrac{7}{15}, que em notação decimal arredondada é 0{,}47.

Passo 4

Como checagem, apresento também o método combinatório (distribuição hipergeométrica), que dá o mesmo resultado. A fórmula para a probabilidade de obter k sucessos (aqui, peças boas) em n retiradas é
\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},
onde N é o total, K é o número de sucessos na população, n o número de retiradas e k o número de sucessos desejados. Aqui N=10, K=7, n=2, k=2. Assim
\text{Probabilidade}=\frac{\binom{7}{2}\,\binom{3}{0}}{\binom{10}{2}}=\frac{21\cdot1}{45}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}\approx0{,}47,
confirmando o resultado.

Passo 5

Interpretação final e motivação: você pode usar qualquer um dos dois métodos na prova — o sequencial costuma ser mais rápido quando se retira sem reposição; o combinatório é útil quando há mais contagens. Ambos dão a mesma resposta: \dfrac{7}{15} ou aproximadamente 0{,}47. Força aí, tá indo bem!

Resposta

0{,}47

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