[Dist HGeo] De uma caixa contendo dez peças …
De uma caixa contendo dez peças, das quais três são defeituosas, selecionam-se duas peças ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que nenhuma seja defeituosa?
◯ 0,35
◯ 0,53
◯ 0,65
◯ 0,47
◯ 0,75
◯ 0,35
◯ 0,53
◯ 0,65
◯ 0,47
◯ 0,75
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Uma caixa com
peças no total. - Destas,
são defeituosas. - Selecionam-se
peças sem reposição (ou seja, a segunda retirada é feita a partir do que sobrou depois da primeira).
O que se pede: - Calcular a probabilidade de que nenhuma das duas peças selecionadas seja defeituosa (isto é, ambas sejam boas).
Passo 2
Vou resolver primeiro com a ideia mais direta e básica: raciocínio sequencial (probabilidades condicionais).
Defina o evento desejado como “as duas peças retiradas são boas”. Há peças boas no total porque
.
Defina o evento desejado como “as duas peças retiradas são boas”. Há
Passo a passo do raciocínio:
- Probabilidade de a primeira peça ser boa:
.
Explicação: daspeças, são boas, então a chance de tirar uma boa na primeira vez é . - Dado que a primeira foi boa, resta uma boa a menos e o total de peças passa a ser
. Então a probabilidade de a segunda também ser boa, condicionada à primeira ter sido boa, é .
Explicação: agora hápeças boas entre as restantes. - Como queremos que ambas ocorram (primeira boa E segunda boa), multiplicamos as probabilidades condicionais:
Passo 3
Calcule o produto e simplifique:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Agora converte para decimal (para comparar com as alternativas):
Então a probabilidade procurada é
, que em notação decimal arredondada é
.
Passo 4
Como checagem, apresento também o método combinatório (distribuição hipergeométrica), que dá o mesmo resultado. A fórmula para a probabilidade de obter
sucessos (aqui, peças boas) em
retiradas é
onde
é o total,
é o número de sucessos na população,
o número de retiradas e
o número de sucessos desejados. Aqui
,
,
,
. Assim
confirmando o resultado.
Passo 5
Interpretação final e motivação: você pode usar qualquer um dos dois métodos na prova — o sequencial costuma ser mais rápido quando se retira sem reposição; o combinatório é útil quando há mais contagens. Ambos dão a mesma resposta:
ou aproximadamente
. Força aí, tá indo bem!