[Dist Bin] Suponha que a probabilidade de uma bomba acertar seu alvo seja 0,7 …

Suponha que a probabilidade de uma bomba acertar seu alvo seja 0,7 . Admitindo uma situação binomial, qual a probabilidade de que, dentre dez bombas, exatamente duas acertem o alvo?
◯ 0,0137
,
0,0014

0,0007
◯ 0,0012
◯ 0,0225

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pergunta claramente o que se quer:
  • Probabilidade de sucesso (acertar o alvo) por bomba: p=0,7.
  • Número de tentativas: n=10.
  • Pergunta: qual a probabilidade de exatamente 2 bombas acertarem o alvo entre as 10 lançadas? Ou seja, queremos P(X=2) para uma distribuição binomial com os dados acima.

Passo 2

Modelo e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}
onde:
  • n é o número de ensaios ( n=10).
  • k é o número de sucessos desejados ( k=2).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio ( p=0,7).
  • \binom{n}{k} é a combinação que conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher k sucessos entre n ensaios.

Passo 3

Calcular a combinação \binom{10}{2}:
\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!\,8!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{2\cdot1\cdot8!}=\frac{10\cdot9}{2}=45.
Explicação curta: usamos cancelamento de 8! e simplificamos 10\cdot9/2.

Passo 4

Calcular as potências p^{k} e (1-p)^{n-k}:
  • p^{k}=0,7^{2}=0,49.
  • 1-p=0,3. Vamos calcular 0,3^{8} passo a passo: 0,3^{2}=0,09,
0,3^{4}=(0,3^{2})^{2}=0,09^{2}=0,0081,
0,3^{8}=(0,3^{4})^{2}=0,0081^{2}=0,00006561.

Passo 5

Agora juntamos tudo na fórmula:
P(X=2)=\binom{10}{2}\cdot0,7^{2}\cdot0,3^{8}=45\cdot0,49\cdot0,00006561.
Calculemos em duas etapas:
45\cdot0,49=22,05,
22,05\cdot0,00006561=0,0014467005\\ (\text{valor exato calculado}).
Arredondando para os algarismos apresentados nas alternativas, isso fica aproximadamente 0,0014.

Resposta

0,0014

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