[TH p] Sabe-se por experiência que \mathbf{5} \boldsymbol{\%} da produção de um determinado artigo é defeituosa. Um novo empregado é contratado…
Sabe-se por experiência que 5 \% da produção de um determinado artigo é defeituosa. Um novo empregado é contratado. Ele produz 600 peças do artigo com 82 defeituosas. Qual o valor do erro padrão?
◯ 0,0753
◯ 0,0047
◯ 0,0057
◯ 0,0089
◯ 0,0075

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede algo claro:
  • A experiência prévia indica que a proporção verdadeira de peças defeituosas é \,p=0,05\,.
  • Um novo empregado produziu n=600 peças e foram encontradas x=82 defeituosas.
  • Pergunta: qual é o valor do erro padrão?
Dados relevantes listados:
  • \,p=0,05\, (proporção conhecida pela experiência);
  • \,n=600\, (tamanho da amostra);
  • \,x=82\, (número de defeituosas observadas) — serve para calcular a proporção amostral, se necessário.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat p (apenas para referência e entendimento do que observamos na amostra):
\hat p=\frac{x}{n}=\frac{82}{600}=\frac{41}{300}\approx0,136\overline{6}.
Isto significa que, na amostra, a proporção observada de defeituosas foi aproximadamente \,0,1367.

Passo 3

Explicar o que é “erro padrão” e de onde vem a fórmula:
  • Quando contamos defeituosas numa amostra de tamanho n, a variável X que conta defeituosas costuma ser modelada por uma distribuição binomial \,X\sim\text{Bin}(n,p), onde p é a probabilidade verdadeira de um item ser defeituoso.
  • A variância da binomial é \operatorname{Var}(X)=np(1-p).
  • A proporção amostral é \hat p=X/n. Pela propriedade da variância,
\operatorname{Var}(\hat p)=\operatorname{Var}\!\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{1}{n^2}\operatorname{Var}(X)=\frac{np(1-p)}{n^2}=\frac{p(1-p)}{n}.
  • O erro padrão (desvio padrão da distribuição amostral de \hat p) é a raiz quadrada da variância:
\text{erro padrão}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.ã
Aqui cada símbolo significa:
  • p: proporção verdadeira de interesse (aqui, \,0,05\,);
  • n: tamanho da amostra (aqui, \,600\,);
  • O numerador p(1-p) é a variabilidade intrínseca de uma Bernoulli; dividir por n reduz essa variabilidade pela média de n observações; a raiz dá a escala (desvio padrão).

Passo 4

Escolha do p a usar na fórmula:
  • Como o enunciado informa que, por experiência, a proporção verdadeira é \,p=0,05\,, usamos esse valor na fórmula do erro padrão. (Observação: em situações onde p não é conhecido, usa-se \hat p no lugar de p para estimar o erro padrão; aqui temos p conhecido.)

Passo 5

Aplicar a fórmula passo a passo com os números:
Calcular p(1-p):
p(1-p)=0,05\cdot(1-0,05)=0,05\cdot0,95=0,0475.
Dividir por n:
\frac{p(1-p)}{n}=\frac{0,0475}{600}=0,000079166\overline{6}.
Tirar a raiz quadrada para obter o erro padrão:
\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=\sqrt{0,000079166\overline{6}}\approx0,008902\ldots
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos \,0,0089\,.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: o erro padrão da proporção mede quanto esperaríamos que a proporção amostral \hat p varie de uma amostra para outra, se a verdadeira proporção realmente for 0,05. Aqui o valor é pequeno ( \approx0,0089), o que faz sentido porque a amostra é grande ( n=600). Vamos em frente — já temos a base para fazer um teste de hipótese se você quiser verificar se o empregado piorou a taxa de defeitos.

Resposta

0,0089

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