Um bastão fino de vidro é encurvado de modo a formar um semicírculo de Raio R. Uma carga Q está uniformemente distribuída ao longo do bastão. Determine a força elétrica que atua sobre uma carga de prova qo colocada no centro de curvatura C do semicírculo.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: um bastão fino de vidro foi dobrado formando um semicírculo de raio dF ;=; k,dfracq0,dQr^2,r , com carga total uniformemente distribuída. No centro desse semicírculo a gente coloca uma carga de prova . A pergunta é: qual é a força elétrica que essa distribuição exerce em ?
Conteúdo da matéria: eletrostática, lei de Coulomb, densidade de carga linear, decomposição vetorial e cálculo de integrais.
O que vamos precisar:
• A constante eletrostática (também escrita como ).
• A densidade linear de carga .
• A fórmula infinitesimal da força de Coulomb:
• Decompor em componentes e e integrar de a .

Passo 2

  1. Definindo a densidade linear: lambda = Qpi RLongrightarrow dQ = lambda,dl = lambda,(R,dtheta) = Qpi ,dtheta
  2. Cada pedacinho de carga em ângulo dF = k,q0,dQR^2 = k,q0R^2,Qpi,dtheta está a distância dFx = dFcostheta, dFy = dFsintheta do centro, então o módulo da força que ele exerce em é
  3. A direção de é radial (do centro para o elemento), formando ângulo em relação ao eixo . Então:

Passo 3

Agora a gente integra as componentes de Fx = integral0^pi dF,costheta = k,q0 Qpi R^2 integral0^pi costheta,dtheta = k,q0 Qpi R^2,[sintheta]0^pi = 0 a Fy = integral0^pi dF,sintheta = k,q0 Qpi R^2 integral0^pi sintheta,dtheta = k,q0 Qpi R^2,[-costheta]0^pi = k,q0 Qpi R^2,( -(-1) - ( -1 ) ) = 2,k,q0 Qpi R^2 :
  1. Componente : (Faz sentido: simetria faz as metades direita e esquerda cancelarem.)
  2. Componente :

Passo 4

Juntando tudo:
F = Fx,i + Fy,j = 0,i + l(2k,q0 Qpi R^2r),j
Ou seja, a força aponta perpendicular ao diâmetro (no sentido “para fora” do semicírculo) com módulo:

Resposta

boxedF = 2,k,Q,q0pi,R^2direção: perpendicular ao diâmetro do semicírculo, para fora çãâí

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