Determine se a sequência abaixo converge. Justifique!
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência $ a_{n} = \frac{2n + (-1)^{n}n}{n + 1 + (-1)^{n}} $ converge. Estamos lidando com sequências numéricas, mais especificamente com sequências que envolvem termos alternados (por causa do $ (-1)^{n} $). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da sequência conforme $ n $ cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. Observe que tanto no numerador quanto no denominador há termos com $ n $. Podemos fatorar $ n $ para ver melhor o que acontece quando $ n $ fica muito grande.
Numerador:
Denominador:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a sequência dividindo o numerador e o denominador por $ n $:
Isso ajuda a entender o comportamento da sequência quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 4
Vamos analisar o limite quando $ n $ vai para o infinito. Sabemos que $ \frac{1}{n} $ e $ \frac{(-1)^{n}}{n} $ tendem a zero quando $ n $ aumenta:
Mas atenção! $ (-1)^{n} $ alterna entre 1 e -1 dependendo se $ n $ é par ou ímpar.
Passo 5
Isso significa que a sequência $ a_{n} $ também vai alternar:
- Se $ n $ for par, $ (-1)^{n} = 1 $, então $ a_{n} = 2 + 1 = 3 $.
- Se $ n $ for ímpar, $ (-1)^{n} = -1 $, então $ a_{n} = 2 - 1 = 1 $.
Passo 6
Como a sequência oscila entre 1 e 3 indefinidamente conforme $ n $ aumenta, ela não se aproxima de um único valor. Para uma sequência convergir, ela precisa ter um único limite. Nesse caso, como existem dois valores para os quais $ a_{n} $ se aproxima (1 e 3), a sequência não converge.
Resposta
A sequência não converge porque ela alterna indefinidamente entre os valores 1 e 3.