Resolva a equação abaixo para x>0 fazendo a substituição t=ln x.
c) x^2 y^prime prime+3 x y^prime+5 y=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos a equação diferencial $ x^{2} y’’ + 3x y’ + 5y = 0 $ para $ x > 0 $. O conteúdo que vamos usar é de equações diferenciais ordinárias, especificamente usando substituição para simplificar a equação. Para resolver isso, vamos fazer uma substituição onde $ t = \ln x $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição $ t = \ln x $. Isso significa que estamos mudando a variável independente de $ x $ para $ t $. Precisamos também expressar as derivadas de $ y $ em relação a $ x $ em termos de $ t $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias. Se $ t = \ln x $, então a derivada de $ t $ em relação a $ x $ é $ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} $. Agora, usando a regra da cadeia:
t = ln x
E a segunda derivada:
t

Passo 4

Agora, vamos substituir $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
y'
Simplificando termo a termo:
y''

Passo 5

Juntando os termos semelhantes:
d^2ydt^2 + 2 dydt + 5y = 0
Agora temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. Assumindo uma solução da forma $ y = e^{rt} $, substituímos na equação:
y = e^rt
Resolvendo a equação quadrática:
r^2 + 2r + 5 = 0

Passo 7

Com as raízes complexas $ r = -1 \pm 2i $, a solução geral da equação é:
r = -1 pm 2i

Passo 8

Lembrando que $ t = \ln x $, substituímos de volta para $ x $:
t = ln x
Sabemos que $ e^{-\ln x} = \frac{1}{x} $, então:
x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 1x ( C1 cos(2 ln x) + C2 sin(2 ln x) )
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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