Resolva a equação abaixo para
fazendo a substituição
.
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos a equação diferencial $ x^{2} y’’ + 3x y’ + 5y = 0 $ para $ x > 0 $. O conteúdo que vamos usar é de equações diferenciais ordinárias, especificamente usando substituição para simplificar a equação. Para resolver isso, vamos fazer uma substituição onde $ t = \ln x $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a substituição $ t = \ln x $. Isso significa que estamos mudando a variável independente de $ x $ para $ t $. Precisamos também expressar as derivadas de $ y $ em relação a $ x $ em termos de $ t $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias. Se $ t = \ln x $, então a derivada de $ t $ em relação a $ x $ é $ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} $. Agora, usando a regra da cadeia:
E a segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Simplificando termo a termo:
Passo 5
Juntando os termos semelhantes:
Agora temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. Assumindo uma solução da forma $ y = e^{rt} $, substituímos na equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 7
Com as raízes complexas $ r = -1 \pm 2i $, a solução geral da equação é:
Passo 8
Lembrando que $ t = \ln x $, substituímos de volta para $ x $:
Sabemos que $ e^{-\ln x} = \frac{1}{x} $, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.