Determine se a sequência abaixo converge. Justifique!
an=(n+1)^nn^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência $ a_{n} = \frac{(n+1){n}}{n{n+1}} $ converge. A matéria que vamos usar aqui é sequential analysis (análise de sequências), especialmente as propriedades de limites de sequências que envolvem potências e expressões exponenciais. Vamos precisar entender como manipular frações com potências e conhecer o número $ e $, que é a base dos logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. Temos:
an = (n+1)^nn^n+1
Podemos reescrever isso separando os termos com potências semelhantes:
an = (n+1)^nn^n cdot n = ( n+1n )^n cdot 1n

Passo 3

Agora, olhamos para o termo ( n+1n )^n. Simplificando dentro do parêntese:
n+1n = 1 + 1n
Então, a expressão fica:
an = (1 + 1n)^n cdot 1n

Passo 4

Sabemos de cálculo que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
Onde $ e $ é aproximadamente 2,71828. Também sabemos que:
e

Passo 5

Usando a propriedade dos limites que diz que o limite do produto é o produto dos limites (desde que ambos existam), temos:
limn to infty an = limn to infty (1 + 1n)^n cdot limn to infty 1n = e cdot 0 = 0

Resposta

A sequência $ a_{n} = \frac{(n+1){n}}{n{n+1}} $ converge para 0.

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