Determine se a sequência abaixo converge. Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência $ a_{n} = \frac{(n+1){n}}{n{n+1}} $ converge. A matéria que vamos usar aqui é sequential analysis (análise de sequências), especialmente as propriedades de limites de sequências que envolvem potências e expressões exponenciais. Vamos precisar entender como manipular frações com potências e conhecer o número $ e $, que é a base dos logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. Temos:
Podemos reescrever isso separando os termos com potências semelhantes:
Passo 3
Agora, olhamos para o termo
. Simplificando dentro do parêntese:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Sabemos de cálculo que:
Onde $ e $ é aproximadamente 2,71828. Também sabemos que:
Passo 5
Usando a propriedade dos limites que diz que o limite do produto é o produto dos limites (desde que ambos existam), temos:
Resposta
A sequência $ a_{n} = \frac{(n+1){n}}{n{n+1}} $ converge para 0.