Suponha que a sequência an seja convergente e tenha limite l. Considere as sequências an^+ e an^- definidos por: an^+=12(an+|an|) e an^-=12(an-|an|)
© Se sum an converge condicionalmente, mostre que sum an^+e sum an^-divergem.

Passo 1

Temos uma sequência an que converge para um limite l e definimos as partes positiva e negativa por
an^+=12l(an+|an|r), an^-=12l(an-|an|r)
Queremos mostrar que, se sum an converge condicionalmente, então as séries sum an^+ e sum an^- divergem.

Passo 2

Convergência condicional significa que sum an converge, mas
sumn=1^infty |an| =infty
Ou seja, a série dos módulos não converge.

Passo 3

Repare que, por definição,
an^+>=0, an^-<=0,
e também
|an| = an^+ - an^-

Passo 4

Somando em n obtemos
sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty an^+ - sumn=1^infty an^-,
e
sumn=1^infty an = sumn=1^infty an^+ + sumn=1^infty an^-

Passo 5

Suponha, por absurdo, que sum an^+ converge. Então,
como sum an converge, temos
sum an^- = sum an - sum an^+,
o que também converge. Mas daí
sum |an| = sum an^+ - sum an^-
converge, contradizendo a convergência condicional. Logo sum an^+ diverge.
O mesmo argumento vale para sum an^-.

Resposta

As séries sumn=1^infty an^+ e sumn=1^infty an^- divergem.

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