Suponha que a sequência
seja convergente e tenha limite
. Considere as sequências
definidos por:
e
© Se
converge condicionalmente, mostre que
e
divergem.
© Se
Passo 1
Temos uma sequência
que converge para um limite
e definimos as partes positiva e negativa por
Queremos mostrar que, se
converge condicionalmente, então as séries
e
divergem.
Passo 2
Convergência condicional significa que
converge, mas
Ou seja, a série dos módulos não converge.
Passo 3
Repare que, por definição,
e também
Passo 4
Somando em
obtemos
e
Passo 5
Suponha, por absurdo, que
converge. Então,
como converge, temos
como
o que também converge. Mas daí
converge, contradizendo a convergência condicional. Logo
diverge.
O mesmo argumento vale para .
O mesmo argumento vale para
Resposta
As séries
e
divergem.