Considere a série sumn=0^infty an x^n em que a0=3, a1=-2 e an+2=an para todo n >= 0
Para qual função essa série converge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série do tipo sumn=0^infty an x^n, onde a0=3, a1=-2 e a regra geral é que an+2=an para todo n >= 0. Nosso objetivo aqui é descobrir para qual função essa série converge. Para resolver isso, vamos precisar entender como os coeficientes an se comportam e como somar essa série usando um pouco de álgebra de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir um padrão para os coeficientes an. A regra an+2=an indica que os coeficientes se repetem a cada dois termos. Sabendo que a0=3 e a1=-2, podemos listar os primeiros termos:
  • a0 = 3
  • a1 = -2
  • a2 = a0 = 3
  • a3 = a1 = -2
  • a4 = a2 = 3
  • a5 = a3 = -2
  • E assim por diante.
Então, os coeficientes seguem o padrão: 3, -2, 3, -2, 3, -2,ldots

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série com esse padrão de coeficientes:
sumn=0^infty an x^n = 3x^0 - 2x^1 + 3x^2 - 2x^3 + 3x^4 - 2x^5 + cdots
Podemos separar essa série em duas partes: uma envolvendo os termos com coeficiente 3 e outra com coeficiente -2:
= 3(x^0 + x^2 + x^4 + cdots) - 2(x^1 + x^3 + x^5 + cdots)

Passo 4

Observamos que cada uma dessas sequências é uma série geométrica. Lembra que uma série geométrica tem a forma sumk=0^infty r^k = 11 - r, desde que |r| < 1.
Para a primeira parte:
sumk=0^infty x^2k = 1 + x^2 + x^4 + cdots = 11 - x^2
E para a segunda parte:
sumk=0^infty x^2k+1 = x + x^3 + x^5 + cdots = x cdot 11 - x^2

Passo 5

Substituindo essas expressões de volta na nossa série original:
3 cdot 11 - x^2 - 2 cdot x1 - x^2 = 3 - 2x1 - x^2

Resposta

A série converge para a função 3 - 2x1 - x^2.

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