Considere a série
em que
e
para todo
Para qual função essa série converge?
Para qual função essa série converge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série do tipo
, onde
,
e a regra geral é que
para todo
. Nosso objetivo aqui é descobrir para qual função essa série converge. Para resolver isso, vamos precisar entender como os coeficientes
se comportam e como somar essa série usando um pouco de álgebra de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir um padrão para os coeficientes
. A regra
indica que os coeficientes se repetem a cada dois termos. Sabendo que
e
, podemos listar os primeiros termos:
-
-
-
-
-
-
- E assim por diante.
Então, os coeficientes seguem o padrão:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a série com esse padrão de coeficientes:
Podemos separar essa série em duas partes: uma envolvendo os termos com coeficiente 3 e outra com coeficiente -2:
Passo 4
Observamos que cada uma dessas sequências é uma série geométrica. Lembra que uma série geométrica tem a forma
, desde que
.
Para a primeira parte:
E para a segunda parte:
Passo 5
Substituindo essas expressões de volta na nossa série original:
Resposta
A série converge para a função
.