Considere a série sumn-1^infty 1n(n+2).
Determine uma fórmula para a sequencia Sn das somas parciais da série e prove por indução em n que a formula que você obteve é valida

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série infinita sumn=1^infty 1n(n+2). O objetivo é encontrar uma fórmula para as somas parciais dessa série, ou seja, uma expressão que nos diga quanto vale a soma dos primeiros n termos. Depois, precisamos provar que essa fórmula está correta usando indução matemática.
Para resolver isso, vamos precisar entender frações parciais e indução matemática. As frações parciais são uma técnica para decompor frações complexas em frações mais simples, o que facilita a soma de séries. A indução matemática é um método de prova que nos permite mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série 1n(n+2) usando frações parciais. Queremos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples:
1n(n+2) = An + Bn+2
Multiplicando ambos os lados por n(n+2) para eliminar os denominadores:
1 = A(n+2) + Bn
Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Podemos escolher valores específicos para n que simplifiquem a equação.

Passo 3

Primeiro, vamos escolher n = -2:
1 = A(-2 + 2) + B(-2) 1 = 0 + (-2B) -2B = 1 B = -12
Agora, escolhemos n = 0:
1 = A(0 + 2) + B(0) 1 = 2A + 0 2A = 1 A = 12
Então, temos:
1n(n+2) = 12n - 12(n+2)

Passo 4

Com essa decomposição, podemos escrever a soma parcial Sn da série:
Sn = sumk=1^n ( 12k - 12(k+2) )
Vamos separar os termos:
Sn = 12 sumk=1^n 1k - 12 sumk=1^n 1k+2

Passo 5

Observando as somas, percebemos que elas se cancelam de forma telescópica. Vamos escrever os termos para entender melhor:
Primeira soma:
12 ( 11 + 12 + 13 + cdots + 1n )
Segunda soma:
12 ( 13 + 14 + cdots + 1n+2 )
Quando subtraímos a segunda soma da primeira, os termos a partir de 13 se cancelam:
Sn = 12 ( 11 + 12 ) - 12 ( 1n+1 + 1n+2 )
Simplificando:
Sn = 34 - 12(n+1) - 12(n+2)

Passo 6

Agora, temos a fórmula para as somas parciais:
Sn = 12 ( 1 + 12 - 1n+1 - 1n+2 )
Ou de forma simplificada:
Sn = 34 - 12(n+1) - 12(n+2)

Passo 7

Vamos provar que essa fórmula está correta usando indução matemática. A indução tem dois passos:
  1. Base da indução: Mostrar que a fórmula é válida para n = 1.
  2. Passo indutivo: Assumir que a fórmula é válida para algum n = k e provar que ela também é válida para n = k+1.
Base da Indução ( n = 1):
Calculando S1 diretamente da série:
S1 = 11(1+2) = 13
Usando a fórmula:
S1 = 34 - 12(1+1) - 12(1+2) = 34 - 14 - 16 = 34 - 14 - 16 = 24 - 16 = 12 - 16 = 13
Está correto!
Passo Indutivo:
Assumimos que a fórmula é válida para n = k:
Sk = 34 - 12(k+1) - 12(k+2)
Queremos mostrar que:
Sk+1 = 34 - 12(k+2) - 12(k+3)
Sabemos que:
Sk+1 = Sk + 1(k+1)(k+3)
Substituindo Sk pela hipótese de indução:
Sk+1 = ( 34 - 12(k+1) - 12(k+2) ) + 1(k+1)(k+3)
Vamos simplificar o último termo usando frações parciais:
1(k+1)(k+3) = Ak+1 + Bk+3
Multiplicando por (k+1)(k+3):
1 = A(k+3) + B(k+1)
Escolhendo k = -3:
1 = A(0) + B(-2) Rightarrow -2B = 1 Rightarrow B = -12
Escolhendo k = -1:
1 = A(2) + B(0) Rightarrow 2A = 1 Rightarrow A = 12
Portanto:
1(k+1)(k+3) = 12(k+1) - 12(k+3)
Substituindo de volta:
Sk+1 = 34 - 12(k+1) - 12(k+2) + 12(k+1) - 12(k+3)
Os termos -12(k+1) e +12(k+1) se cancelam:
Sk+1 = 34 - 12(k+2) - 12(k+3)
Assim, a fórmula é válida para n = k+1.

Resposta

A fórmula para as somas parciais da série é:
Sn = 34 - 12(n+1) - 12(n+2)
E essa fórmula é válida para todo n >= 1, conforme demonstrado por indução.

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