Considere a série
.
Determine uma fórmula para a sequencia
das somas parciais da série e prove por indução em
que a formula que você obteve é valida
Determine uma fórmula para a sequencia
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série infinita
. O objetivo é encontrar uma fórmula para as somas parciais dessa série, ou seja, uma expressão que nos diga quanto vale a soma dos primeiros
termos. Depois, precisamos provar que essa fórmula está correta usando indução matemática.
Para resolver isso, vamos precisar entender frações parciais e indução matemática. As frações parciais são uma técnica para decompor frações complexas em frações mais simples, o que facilita a soma de séries. A indução matemática é um método de prova que nos permite mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série
usando frações parciais. Queremos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Podemos escolher valores específicos para
que simplifiquem a equação.
Passo 3
Primeiro, vamos escolher
:
Agora, escolhemos
:
Então, temos:
Passo 4
Com essa decomposição, podemos escrever a soma parcial
da série:
Vamos separar os termos:
Passo 5
Observando as somas, percebemos que elas se cancelam de forma telescópica. Vamos escrever os termos para entender melhor:
Primeira soma:
Segunda soma:
Quando subtraímos a segunda soma da primeira, os termos a partir de
se cancelam:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos a fórmula para as somas parciais:
Ou de forma simplificada:
Passo 7
Vamos provar que essa fórmula está correta usando indução matemática. A indução tem dois passos:
- Base da indução: Mostrar que a fórmula é válida para
. - Passo indutivo: Assumir que a fórmula é válida para algum
e provar que ela também é válida para .
Base da Indução (
):
Calculando
diretamente da série:
Usando a fórmula:
Está correto!
Passo Indutivo:
Assumimos que a fórmula é válida para
:
Queremos mostrar que:
Sabemos que:
Substituindo
pela hipótese de indução:
Vamos simplificar o último termo usando frações parciais:
Multiplicando por
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Portanto:
Substituindo de volta:
Os termos
e
se cancelam:
Assim, a fórmula é válida para
.
Resposta
A fórmula para as somas parciais da série é:
E essa fórmula é válida para todo
, conforme demonstrado por indução.