Nos itens abaixo, calcular as integrais usando o método da substituição:
\int \operatorname{sen}(4 x)+\cos (2 \pi) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}(4x)+\cos(2\pi)\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • A integranda é a soma de duas funções: \operatorname{sen}(4x) e \cos(2\pi).
  • \cos(2\pi) é um número fixo; sabemos que \cos(2\pi)=1.
  • Vamos aplicar o método da substituição para tratar a parte \operatorname{sen}(4x).

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar a soma:
\int \operatorname{sen}(4x)+\cos(2\pi)\,dx = \int \operatorname{sen}(4x)\,dx + \int \cos(2\pi)\,dx.
A propriedade usada é: para funções f e g e constante a, \int (f+g)=\int f + \int g e \int a\,dx = a x + C.

Passo 3

Calculo imediato da parte constante:
\int \cos(2\pi)\,dx = \cos(2\pi)\,x + C_1 = 1\cdot x + C_1 = x + C_1,
pois usamos \cos(2\pi)=1. Aqui C_1 é uma constante de integração temporária.

Passo 4

Agora a parte \int \operatorname{sen}(4x)\,dx. Aplicamos substituição: definimos
u = 4x.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 4\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{1}{4}\,du.
Expliquei: u é a nova variável que simplifica o argumento do seno; du é a pequena variação de u relacionada à variação dx.

Passo 5

Substituindo na integral:
\int \operatorname{sen}(4x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
Agora usamos a antiderivada conhecida: a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u), então
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C_2.
Portanto
\frac{1}{4}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{4}\big(-\cos(u)\big) + C_2 = -\frac{1}{4}\cos(u) + C_2.
Voltando para x usando u=4x:
\int \operatorname{sen}(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C_2.

Passo 6

Somamos as duas partes e recolhemos as constantes de integração num único C:
\int \operatorname{sen}(4x)+\cos(2\pi)\,dx = \big(-\tfrac{1}{4}\cos(4x)+C_2\big) + \big(x + C_1\big) = -\tfrac{1}{4}\cos(4x) + x + C,
onde C=C_1+C_2 é a constante de integração final.

Resposta

-\dfrac{1}{4}\cos(4x) + x + C

Exercícios relacionados