Nos itens abaixo, calcular as integrais usando o método da substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas que vamos usar:
- A integranda é a soma de duas funções:
e . -
é um número fixo; sabemos que . - Vamos aplicar o método da substituição para tratar a parte
.
Passo 2
Usamos a linearidade da integral para separar a soma:
A propriedade usada é: para funções
e
e constante
,
e
.
Passo 3
Calculo imediato da parte constante:
pois usamos
. Aqui
é uma constante de integração temporária.
Passo 4
Agora a parte
. Aplicamos substituição: definimos
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Expliquei:
é a nova variável que simplifica o argumento do seno;
é a pequena variação de
relacionada à variação
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora usamos a antiderivada conhecida: a derivada de
é
, então
Portanto
Voltando para
usando
:
Passo 6
Somamos as duas partes e recolhemos as constantes de integração num único
:
onde
é a constante de integração final.