Determine se a sequência abaixo é convergente ou divergente.
n^3n+1n=1^+infty

Passo 1

Estamos com a sequência an = n^3n+1 e o objetivo é decidir se ela converge (chega num valor finito) ou diverge (não tem limite finito). O conteúdo aqui é limites de sequência e vamos precisar usar a definição de sequência convergente/divergente e a técnica de dividir pela maior potência de n.

Passo 2

Para verificar convergência, lembramos que uma sequência an converge se limntoinftyan=L existir e for finito. Caso contrário (se o limite for +infty, -infty ou não existir), dizemos que diverge. Então precisamos calcular limntoinfty n^3n+1.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão dividindo numerador e denominador por n, a maior potência que aparece no denominador, assim fica mais fácil ver o comportamento para n grande:
n^3n+1 = n^3/n(n+1)/n = n^21 + tfrac1n
Como ntoinfty, temos tfrac1nto 0. Logo
n^21 + tfrac1n sim n^2
e como limntoinfty n^2 = +infty, concluímos que
limntoinfty n^3n+1 = +infty
Portanto o limite não é finito, o que significa que a sequência não converge a um número real, mas diverge (á infinito).

Resposta

A sequência diverge para +∞.

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