Determine se a sequência abaixo é convergente ou divergente.
(n+2)(n+3)4 n^2n=1^+infty

Passo 1

O enunciado pede pra determinar se a sequência definida por an = (n+2)(n+3)4n^2 converge ou diverge. O assunto é limite de sequência, e a gente vai precisar reescrever essa fração direitinho pra aplicar as regras de limites quando n to infty.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador e dividir tudo por n^2 pra ver direitinho as parcelas que vão sumir. Aí fica mais fácil:
(n+2)(n+3)4n^2 = n^2 + 5n + 64n^2 = 1 + 5n + 6n^24
Essa forma deixa evidente o que acontece com cada termo quando n cresce.

Passo 3

Agora aplicamos as propriedades de limite: sabemos que lim 1 = 1, lim 5n = 0 e lim 6n^2 = 0. Também vale que multiplicar por constante sai de fora do limite. Então:
limn to infty l(1 + 5n + 6n^2r) = 1 + 0 + 0 = 1
limn to infty (n+2)(n+3)4n^2 = 14 cdot limn to infty l(1 + 5n + 6n^2r) = 14 cdot 1 = 14

Passo 4

Logo, o limite existe, é finito e igual a 14, ou seja, a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 14.

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