Determine se a sequência abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede pra determinar se a sequência definida por
converge ou diverge. O assunto é limite de sequência, e a gente vai precisar reescrever essa fração direitinho pra aplicar as regras de limites quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o numerador e dividir tudo por
pra ver direitinho as parcelas que vão sumir. Aí fica mais fácil:
Essa forma deixa evidente o que acontece com cada termo quando
cresce.
Passo 3
Agora aplicamos as propriedades de limite: sabemos que
,
e
. Também vale que multiplicar por constante sai de fora do limite. Então:
Passo 4
Logo, o limite existe, é finito e igual a
, ou seja, a sequência é convergente.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.