Nos Exercicios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou ndo-monótona.
n^2+3n+1

Passo 1

A sequência dada é an = n^2+3n+1. O conteúdo aqui é monotonicidade de sequências e vamos usar o teste da diferença, ou seja, calcular an+1-an para ver se é positivo (crescente) ou negativo (decrescente).

Passo 2

Calcular an+1. Temos
an+1 = (n+1)^2 + 3n+2 = n^2 + 2n + 4n+2

Passo 3

Montar a diferença De e colocá-la em um único quociente. Usando o mínimo múltiplo de denominadores:
De
Pela definição, se De0 para todo n, a sequência é crescente.

Passo 4

Analisar o sinal de De. O denominador (n+1)(n+2) é sempre positivo para n>=1. O numerador n^2+3n-2 tem raízes em -3pmraiz172approx -3,56 e 0,56. Para todo inteiro n>=1, temos n>0,56, logo n^2+3n-2>0. Portanto De0 para todo n>=1.

Passo 5

Como an+1-an>0 para todo n>=1, concluímos que a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência é crescente.

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