Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite: 1-14+14^2+ldots+(-1)^n-14^n-1n >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. A matéria que vamos usar aqui é séries geométricas, que são sequências de termos que têm uma razão constante entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a razão da nossa série. Observando os termos:
  • O primeiro termo é r = -141 = -14 .
  • O segundo termo é .
  • O terceiro termo é , e assim por diante.
A razão entre um termo e o anterior é:

Passo 3

Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| = | -14 | = 14 < 1 for menor que 1. No nosso caso:
Como , a série converge.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge, vamos achar o limite (a soma infinita). A fórmula para a soma S = a1 - r de uma série geométrica infinita é:
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
  • S = 11 - (-14) = 11 + 14 = 154
Então:

Passo 6

Simplificando a fração:
S = 154 = 45

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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