Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona: 1.3 cdot 5 ldots(2 n-1)2^n n!n >= 1

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o exercício que pede para verificar se a sequência 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)2^n cdot n!n >= 1 é monótona ou não. Monótona significa que os termos da sequência sempre aumentam ou sempre diminuem conforme avançamos. Para isso, vamos precisar entender de sequências e monotonicidade, além de calcular alguns termos para observar o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a sequência. O numerador é o produto dos primeiros n números ímpares, ou seja, 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1). O denominador é 2^n cdot n!, onde 2^n é 2 elevado a n e n! é o fatorial de n, que é o produto de todos os números de 1 até n.

Passo 3

Para ver se a sequência é monótona, vamos calcular alguns termos. Vamos começar com n = 1, 2 e 3.
Para n = 1:
a1 = 12^1 cdot 1! = 12 cdot 1 = 12 = 0,5
Para n = 2:
a2 = 1 cdot 32^2 cdot 2! = 34 cdot 2 = 38 = 0,375
Para n = 3:
a3 = 1 cdot 3 cdot 52^3 cdot 3! = 158 cdot 6 = 1548 = 0,3125

Passo 4

Observando os valores calculados:
  • a1 = 0,5
  • a2 = 0,375
  • a3 = 0,3125
Vemos que a sequência está diminuindo. Agora, vamos verificar se isso continua para n = 4.
Para n = 4:
a4 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot 72^4 cdot 4! = 10516 cdot 24 = 105384 approx 0,2734

Passo 5

Como a4 approx 0,2734 é menor que a3 = 0,3125, a sequência continua diminuindo. Isso sugere que a sequência é monótona decrescente, ou seja, sempre diminui conforme n aumenta.

Resposta

A sequência é monótona decrescente.

Exercícios relacionados