Seja C a interseção do elipsoide x^2+3 y^2+z^2=1 com o plano z=y, percorrida no sentido anti-horário quando projetada no plano x y. O valor da integral de linha integralC x^2x^2+4 y^2 d x+(z-2 x) d y+y d z é:
Escolha uma opção:
  • -3 pi4
    ○ 0
  • -pi
  • pi2
  • pi4

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha fechada sobre a curva C, interseção do elipsoide x^2+3y^2+z^2=1 com o plano z=y, orientada anti‐horário quando projetada no plano xy. O que queremos é ointCP,dx+Q,dy+R,dz, onde
P(x,y,z)=\frac{x{2}}{x{2}+4y^{2}},
Q(x,y,z)=z-2x,
R(x,y,z)=y.

Passo 2

Usamos o teorema de Stokes em 3D: ointC Fcdot d r=integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS. Primeiro calculamos o rotacional de F=(P,Q,R):
nablatimes F= l(,Ry-Qz,,Pz-Rx,,Qx-Pyr)

Passo 3

Como
Ry=1, Qz=1 Rightarrow(Ry-Qz)=0,
Pz=0, Rx=0 Rightarrow(Pz-Rx)=0,
Qx=-2, Py=-8x^2y(x^2+4y^2)^2 Rightarrow(Qx-Py)=-2+8x^2y(x^2+4y^2)^2
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nablatimes F=(0,0,-2+8tfracx^2y(x^2+4y^2)^2)

Passo 4

Escolhemos a superfície S como a região no plano z=y limitada por C. Parametrizamos por r(x,y)=(x,y,y), com domínio D:,x^2+4y^2<=1. Calculamos
rxtimes ry=(1,0,0)times(0,1,1)=(0,-1,1), dS=|rxtimes ry|,dx,dy=raiz2,dx,dy
O versor normal com nz>0 é (0,-1,1)/raiz2. Então
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS= integral duplaDl(0,0,-2+8tfracx^2y(x^2+4y^2)^2r)cdot(0,-1,1),dx,dy

Passo 5

Fazendo o produto escalar cai em
integral duplaDl[-2+8tfracx^2y(x^2+4y^2)^2r],dx,dy
Separamos em duas integrais:
I1=-2integral duplaDdx,dy=-2cdotÁrea(D)=-2cdotpi2=-pi, Á
I2=8integral duplaDx^2y(x^2+4y^2)^2,dx,dy=0(integrando em $y$ simétrico, integrando função ímpar) éçãí

Passo 6

Somando, o valor da integral de linha é
-pi+0=-pi

Resposta

-\pi

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