Seja
a interseção do elipsoide
com o plano
, percorrida no sentido anti-horário quando projetada no plano
. O valor da integral de linha
é:
Escolha uma opção:
-
○ 0
-
-
-
Escolha uma opção:
○ 0
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha fechada sobre a curva
, interseção do elipsoide
com o plano
, orientada anti‐horário quando projetada no plano
. O que queremos é
, onde
P(x,y,z)=\frac{x{2}}{x{2}+4y^{2}},
Q(x,y,z)=z-2x,
R(x,y,z)=y.
P(x,y,z)=\frac{x{2}}{x{2}+4y^{2}},
Q(x,y,z)=z-2x,
R(x,y,z)=y.
Passo 2
Usamos o teorema de Stokes em 3D:
. Primeiro calculamos o rotacional de
:
Passo 3
Como
Logo
Passo 4
Escolhemos a superfície
como a região no plano
limitada por
. Parametrizamos por
, com domínio
. Calculamos
O versor normal com
é
. Então
Passo 5
Fazendo o produto escalar cai em
Separamos em duas integrais:
Passo 6
Somando, o valor da integral de linha é
Resposta
-\pi