Determine se a seqüência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
\left\{\arctan{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência \{\arctan n\}_{n=1}^{\infty}, identificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar seu limite. O conteúdo envolvido é o de sequências numéricas e limites no infinito, usando propriedades da função \arctan x.

Passo 2

Estudamos a função f(x)=\arctan x em \mathbb{R}:
  1. f'(x)=\frac{1}{1+x^2}>0 para todo x, logo f é estritamente crescente. Isso implica que a sequência \arctan n também é crescente.
  2. Sabemos ainda que para todo x\in\mathbb{R} vale
-\frac{\pi}{2} < \arctan x < \frac{\pi}{2},
portanto \arctan n é limitada superiormente por \pi/2.
Pelo teorema de sequência crescente e limitada acima, \{\arctan n\} converge ao seu supremo.

Passo 3

É um fato clássico que
\lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}.
Como \arctan x é contínua, podemos passar ao limite em x=n:
\lim_{n\to\infty}\arctan n = \frac{\pi}{2}.

Resposta

A sequência converge e seu limite é \displaystyle \frac{\pi}{2}.

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