Determine se a seqüência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
, identificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar seu limite. O conteúdo envolvido é o de sequências numéricas e limites no infinito, usando propriedades da função
.
Passo 2
Estudamos a função
em
:
-
para todo , logo é estritamente crescente. Isso implica que a sequência também é crescente. - Sabemos ainda que para todo
vale
portanto
é limitada superiormente por
.
Pelo teorema de sequência crescente e limitada acima,
converge ao seu supremo.
Passo 3
É um fato clássico que
Como
é contínua, podemos passar ao limite em
:
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.