1. Em uma pirâmide quadrangular regular, cada aresta lateral mede 15 cm e cada aresta da base mede 18 cm .
    Calcule:
    a) a medida n do apótema da pirâmide.
    b) a medida r do apótema da base da pirâmide.
    c) a altura da pirâmide.
    d) a área lateral da pirâmide.
    e) a área da base da pirâmide.
    f) a área total da pirâmide.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide quadrangular regular com aresta lateral l=15 cm e aresta da base a=18 cm. Precisamos calcular:
  • n, o apótema lateral (slant height) da pirâmide;
  • r, o apótema da base (distância do centro ao lado);
  • h, a altura da pirâmide;
  • A_{\text{lateral}}, a área lateral;
  • A_{\text{base}}, a área da base;
  • A_{\text{total}}, a área total.
    Vamos usar o Teorema de Pitágoras em triângulos retângulos formados pelas arestas e projeções no plano da base, e fórmulas de área de triângulos e quadrado.

Passo 2

Para achar o apótema lateral n, considere o triângulo retângulo que tem hipotenusa igual à aresta lateral l e cateto igual à metade da aresta da base a/2. Logo,
n = \sqrt{l^2 - \bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^2}
Substituindo l=15 e a=18:
n = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\text{ cm}.

Passo 3

O apótema da base r numa base quadrada é simplesmente a distância do centro ao lado, ou seja, metade da aresta:
r = \tfrac{a}{2} = \tfrac{18}{2} = 9\text{ cm}.

Passo 4

Para obter a altura h da pirâmide, use o triângulo retângulo que tem como hipotenusa o apótema lateral n e cateto horizontal o apótema da base r. Assim,
h = \sqrt{n^2 - r^2}
h = \sqrt{12^2 - 9^2} = \sqrt{144 - 81} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}\text{ cm}.

Passo 5

A área lateral A_{\text{lateral}} é a soma da área de 4 triângulos isósceles, cada um com base a e altura n:
A_{\text{lateral}} = 4\;\frac{a\,n}{2} = 2\,a\,n = 2\cdot18\cdot12 = 432\text{ cm}^2.

Passo 6

A área da base A_{\text{base}} é a de um quadrado de lado a:
A_{\text{base}} = a^2 = 18^2 = 324\text{ cm}^2.

Passo 7

A área total A_{\text{total}} é a soma das áreas lateral e da base:
A_{\text{total}} = A_{\text{lateral}} + A_{\text{base}} = 432 + 324 = 756\text{ cm}^2.

Resposta

a) n = 12 cm
b) r = 9 cm
c) h = 3\sqrt{7} cm
d) A_{\text{lateral}} = 432 cm ^2
e) A_{\text{base}} = 324 cm ^2
f) A_{\text{total}} = 756 cm ^2

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