1. Em uma pirâmide hexagonal regular de altura 2 \sqrt{6} \mathrm{~cm}, cada aresta da base mede 4 cm . Calcular a área lateral e a área total dessa pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide de base hexagonal regular com aresta da base a=4 cm e altura perpendicular H=2\sqrt{6} cm. Vamos precisar de: apótema da base (distância do centro ao meio de um lado), área da base, comprimento da aresta lateral (altura inclinada l) e fórmulas
para área de polígono regular e área de faces triangulares para achar a área lateral e, somando com a área da base, a área total.

Passo 2

Na base regular de seis lados de comprimento a, o apótema r é
r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\text{ cm},
e a área da base vale
A_{\text{base}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot4^2 = 24\sqrt{3}\text{ cm}^2.

Passo 3

A aresta lateral (slant height) l sai do ápice até o ponto médio de um lado da base, formando triângulo retângulo de catetos H e r. Logo,
l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{\,(2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2\,} = \sqrt{24 + 12} = 6\text{ cm}.

Passo 4

Cada face lateral é um triângulo de base a=4 cm e altura l=6 cm. A área de uma face é
\frac{1}{2}\,a\,l = \frac{1}{2}\cdot4\cdot6 = 12\text{ cm}^2.
Há seis faces idênticas, então a área lateral total é
A_{\text{lat}} = 6 \times 12 = 72\text{ cm}^2.

Passo 5

A área total da pirâmide é a soma da área lateral com a área da base:
A_{\text{total}} = A_{\text{lat}} + A_{\text{base}} = 72 + 24\sqrt{3}\text{ cm}^2.

Resposta

Área lateral: 72\text{ cm}^2
Área total: 72 + 24\sqrt{3}\text{ cm}^2

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