Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
n) 3^n+2^n3^n+1+2^n+1n >= 1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência an = 3^n + 2^n3^n+1 + 2^n+1 e, caso converja, determinar o seu limite. O conteúdo aqui é limites de sequência envolvendo potências, e vamos precisar usar o conceito de termo dominante (a base maior) para simplificar.

Passo 2

Para identificar o termo dominante, dividimos numerador e denominador por 3^n, que é a maior potência que aparece. Assim,
an = 3^n + 2^n3^n+1 + 2^n+1 = 3^n3^n + 2^n3^n3^n+13^n + 2^n+13^n = 1 + l(tfrac23r)^n3 + 2l(tfrac23r)^n

Passo 3

Agora, observe que l(tfrac23r)^n to 0 quando ntoinfty, pois |2/3|<1. Substituindo esse comportamento na expressão acima, o numerador tende a 1 e o denominador tende a 3.
Portanto, o limite da sequência é
limntoinfty an = 1 + 03 + 2cdot0 = 13

Resposta

A sequência converge e seu limite é tfrac13.

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