Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientado no sentido antihorário quando visto de cima.
é a intersecção do plano
com o cilindro
.
Passo 1
Vamos usar o Teorema de Stokes para converter a integral de linha num integral de superfície. O enunciado pede que a gente calcule
, onde
e
é a curva de intersecção do plano
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário vista de cima. Para resolver, vamos precisar do Teorema de Stokes, cálculo de rotacional e parametrização da superfície.
Passo 2
O Teorema de Stokes diz que
, onde
é qualquer superfície com
. Como
é orientada anti-horário de cima, escolhemos a normal de
com componente
.
Passo 3
Calculemos o rotacional de
:
Passo 4
Escolhemos
como o pedaço do plano
dentro de
. Usando a fórmula para gráfico
, temos
. Aqui
,
, então
com componente
Passo 5
O integral de superfície fica
onde
é o disco
no plano
. Passamos para coordenadas polares
,
,
.
Passo 6
Calculamos
Temos
e
, então