Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F d r. Em cada caso, C é orientado no sentido antihorário quando visto de cima.
F(x, y, z)=(x y, 2 z, 3 y), C é a intersecção do plano z=5-x com o cilindro x^2+y^2=9.

Passo 1

Vamos usar o Teorema de Stokes para converter a integral de linha num integral de superfície. O enunciado pede que a gente calcule ointC vec Fcdot dvec r, onde vec F(x,y,z)=(xy,2z,3y) e C é a curva de intersecção do plano z=5-x com o cilindro x^2+y^2=9, orientada no sentido anti-horário vista de cima. Para resolver, vamos precisar do Teorema de Stokes, cálculo de rotacional e parametrização da superfície.

Passo 2

O Teorema de Stokes diz que ointC vec Fcdot dvec r=integral duplaS (nablatimesvec F)cdot dvec S, onde S é qualquer superfície com partial S=C. Como C é orientada anti-horário de cima, escolhemos a normal de S com componente +z.

Passo 3

Calculemos o rotacional de vec F:
nablatimesvec F=l(partial(3y)partial y-partial(2z)partial z,;partial(xy)partial z-partial(3y)partial x,;partial(2z)partial x-partial(xy)partial yr)=(3-2,;0-0,;0-x)=(1,0,-x)

Passo 4

Escolhemos S como o pedaço do plano z=5-x dentro de x^2+y^2<=9. Usando a fórmula para gráfico z=f(x,y), temos dvec S=(-fx,-fy,1)dA. Aqui fx=-1, fy=0, então
dvec S=(1,0,1),dA,
com componente z positiva, conforme a orientação.

Passo 5

O integral de superfície fica
integral duplaS (nablatimesvec F)cdot dvec S=integral duplaD (1,0,-x)cdot(1,0,1),dA=integral duplaD(1-x),dA,
onde D é o disco x^2+y^2<=9 no plano xy. Passamos para coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta.

Passo 6

Calculamos
integral0^2piintegral0^3(1-rcostheta),r,dr,dtheta=integral0^2pil(integral0^3r,dr-integral0^3r^2costheta,drr)dtheta
Temos integral0^3r,dr=9/2 e integral0^3r^2,dr=9, então
integral0^2pil(92-9costhetar)dtheta=92cdot2pi-9integral0^2picostheta,dtheta=9pi-0=9pi

Resposta

9pi

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