Encontre o fluxo do campo
através da porção da esfera
no primeiro octante no sentido oposto à origem.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da porção da esfera
que está no primeiro octante (ou seja,
) com orientação “no sentido oposto à origem”. As informações relevantes são:
- O campo é
(ou seja, ). - A superfície é a porção da esfera de raio
no primeiro octante. - Orientação: “sentido oposto à origem” significa que as normais apontam radialmente para fora da esfera (para fora do volume central), isto é, a normal é a normal externa à esfera.
Passo 2
Vamos escolher um método: o jeito mais direto aqui é parametrizar a superfície esférica e calcular o fluxo pela definição
onde
é a normal unitária orientada para fora e
é o elemento de área da superfície. Esse método é simples porque a esfera tem normal radial fácil de escrever e a expressão do campo é muito simples.
Passo 3
Primeiro vou escrever a normal unitária na esfera. Para qualquer ponto da esfera
o vetor radial é
. A normal unitária externa é o vetor radial dividido pelo raio:
Isso satisfaz
e aponta para fora (oposto à origem), conforme pedido.
Passo 4
Calculo o produto escalar
. Como
e
, temos
Portanto o integrando do fluxo é
.
Passo 5
Agora escolhemos coordenadas esféricas para parametrizar a porção da superfície. Em esféricas (raio fixo
) usamos os parâmetros
(ângulo polar, medido a partir do eixo
) e
(azimutal, no plano
). As fórmulas são:
Na superfície esférica de raio
, o elemento de área é
Como estamos no primeiro octante, os limites são
Passo 6
Substituímos
na expressão
e multiplicamos por
. Então o integrando fica
Logo o fluxo é
Passo 7
Calculo a integral em
. Faço a substituição
, então
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
Portanto a integral em
vale
.
Passo 8
Agora integro em
. A integral em
de
de
a
é
. Reunindo fatores: