Encontre o fluxo do campo \mathbf{F} através da porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} no primeiro octante no sentido oposto à origem.
\mathbf{F}(x, y, z)=z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \mathbf{F} através da porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} que está no primeiro octante (ou seja, x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0) com orientação “no sentido oposto à origem”. As informações relevantes são:
  • O campo é \mathbf{F}(x,y,z)=z\,\mathbf{k} (ou seja, \mathbf{F}=(0,0,z)).
  • A superfície é a porção da esfera de raio a no primeiro octante.
  • Orientação: “sentido oposto à origem” significa que as normais apontam radialmente para fora da esfera (para fora do volume central), isto é, a normal é a normal externa à esfera.

Passo 2

Vamos escolher um método: o jeito mais direto aqui é parametrizar a superfície esférica e calcular o fluxo pela definição
\Phi=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é a normal unitária orientada para fora e dS é o elemento de área da superfície. Esse método é simples porque a esfera tem normal radial fácil de escrever e a expressão do campo é muito simples.

Passo 3

Primeiro vou escrever a normal unitária na esfera. Para qualquer ponto da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} o vetor radial é (x,y,z). A normal unitária externa é o vetor radial dividido pelo raio:
\mathbf{n}=\frac{(x,y,z)}{a}.
Isso satisfaz \|\mathbf{n}\|=1 e aponta para fora (oposto à origem), conforme pedido.

Passo 4

Calculo o produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}. Como \mathbf{F}=(0,0,z) e \mathbf{n}=\dfrac{(x,y,z)}{a}, temos
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=\frac{(0,0,z)\cdot(x,y,z)}{a}=\frac{z^{2}}{a}.
Portanto o integrando do fluxo é \dfrac{z^{2}}{a}.

Passo 5

Agora escolhemos coordenadas esféricas para parametrizar a porção da superfície. Em esféricas (raio fixo r=a) usamos os parâmetros \varphi (ângulo polar, medido a partir do eixo z) e \theta (azimutal, no plano xy). As fórmulas são:
x=a\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=a\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=a\cos\varphi.
Na superfície esférica de raio a, o elemento de área é
dS=a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Como estamos no primeiro octante, os limites são
\varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\qquad \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 6

Substituímos z=a\cos\varphi na expressão \dfrac{z^{2}}{a} e multiplicamos por dS. Então o integrando fica
\frac{z^{2}}{a}\,dS=\frac{(a\cos\varphi)^{2}}{a}\cdot a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = a^{3}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Logo o fluxo é
\Phi=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2} a^{3}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 7

Calculo a integral em \varphi. Faço a substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1 e quando \varphi=\tfrac{\pi}{2} temos u=0. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{u=1}^{0}u^{2}(-du)=\int_{0}^{1}u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Portanto a integral em \varphi vale \dfrac{1}{3}.

Passo 8

Agora integro em \theta. A integral em \theta de 1 de 0 a \tfrac{\pi}{2} é \tfrac{\pi}{2}. Reunindo fatores:
\Phi = a^{3}\cdot\left(\int_{0}^{\pi/2}d\theta\right)\cdot\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi\right) = a^{3}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi a^{3}}{6}.

Resposta

\dfrac{\pi a^{3}}{6}

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