Determine se a seqüência converge ou diverge; se ela convergir determine o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a sequência
. O que queremos saber é se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico quando
fica muito grande) ou se ela diverge (não tem um limite definido). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como os termos de maior grau (no caso, os
) influenciam o comportamento da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos que têm maior potência de
no numerador e no denominador. No numerador, temos
e no denominador temos
. Quando
cresce muito, os termos com menor potência (como
e
) acabam tendo pouca influência no resultado final.
Passo 3
Para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
, que é a maior potência presente:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de cada fração quando
tende ao infinito (
). Sabemos que
e
tendem a zero, porque qualquer número dividido por um valor que cresce sem limite vai se aproximar de zero. Então, podemos simplificar ainda mais a expressão:
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é
.