Determine se a seqüência converge ou diverge; se ela convergir determine o limite.
3 n^3+12 n^3+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a sequência 3n^3+12n^3+2. O que queremos saber é se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico quando n fica muito grande) ou se ela diverge (não tem um limite definido). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como os termos de maior grau (no caso, os n^3) influenciam o comportamento da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos que têm maior potência de n no numerador e no denominador. No numerador, temos 3n^3 e no denominador temos 2n^3. Quando n cresce muito, os termos com menor potência (como +1 e +2) acabam tendo pouca influência no resultado final.

Passo 3

Para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por n^3, que é a maior potência presente:
3n^3+12n^3+2 = 3 + 1n^32 + 2n^3

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada fração quando n tende ao infinito ( n to infty). Sabemos que 1n^3 e 2n^3 tendem a zero, porque qualquer número dividido por um valor que cresce sem limite vai se aproximar de zero. Então, podemos simplificar ainda mais a expressão:
3 + 02 + 0 = 32

Resposta

A sequência 3n^3+12n^3+2 converge, e o seu limite é 32.

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