Determine todas as classes laterais de:
S=3 Z no grupo aditivo Z.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as classes laterais do subgrupo 3Z no grupo aditivo Z. O conteúdo aqui é a definição de classe lateral (ou coset) de um subgrupo em um grupo; vamos usar a definição e depois identificar todas as classes distintas.

Passo 2

Em um grupo aditivo (Z,+), a classe lateral de um elemento ainZ em relação ao subgrupo H=3Z é definida por
a + H = a + h : h in H = a + 3k : k in Z
Essa definição mostra que duas classes a+H e b+H são iguais se e somente se a - b é múltiplo de 3.

Passo 3

Para ver quais classes existem, basta observar que dois inteiros estão na mesma classe exatamente quando têm o mesmo resto na divisão por 3. Logo, podemos escolher como representantes os restos 0,1,2. Assim chegamos às três classes distintas:

Passo 4

Escrevendo-as explicitamente, temos as três classes laterais:
0 + 3Z = 3Z,
1 + 3Z = dots,-5,-2,1,4,7,dots,
2 + 3Z = dots,-4,-1,2,5,8,dots

Resposta

As classes laterais são 3Z, 1+3Z e 2+3Z.

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