(c) Seja S a superfície lateral do cilindro x^2+y^2=4 para 0 <= z <= 3. Calcule a integral de superfície I=integral duplaS z d S. Resp.: I=12 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
I=integral duplaS z,dS
sobre a superfície lateral do cilindro x^2+y^2=4 com 0<= z<=3.
O conteúdo envolvido é integral de superfície de função escalar: precisamos parametrizar S, obter o elemento de área dS via produto vetorial e então fazer a integral dupla.

Passo 2

Parametrizamos S por coordenadas cilíndricas fixando o raio r=2. Seja
r(theta,z) = l(2costheta,;2sintheta,;zr),
com thetain[0,2pi] e zin[0,3].
Então os vetores tangentes são
rtheta = partialrpartialtheta =(-2sintheta,;2costheta,;0), rz = partialrpartial z =(0,0,1)

Passo 3

O elemento de área é dado por
dS = l|rthetatimesrzr|,dtheta,dz
Calculando o produto vetorial,
rthetatimesrz =(2costheta,,2sintheta,,0),
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l|rthetatimesrzr| =raiz(2costheta)^2+(2sintheta)^2 =2
Assim
dS=2,dtheta,dz

Passo 4

Substituindo na integral, temos
I=integraltheta=0^2piintegralz=0^3 z,(2),dz,dtheta =2integral0^2pil(integral0^3z,dzr)dtheta

Passo 5

Compute a integral em z:
integral0^3z,dz =z^22|0^3 =92
Então
2integral0^2pi92,dtheta =9integral0^2pidtheta

Passo 6

Agora a integral em theta:
9integral0^2pidtheta =9cdot2pi =18pi

Resposta

I=18pi

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