Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(13) an=(1+2n)^n
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(16) an=arctg(ln (n))

Passo 1

Neste exercício vamos estudar se as duas sequências dadas convergem e, em caso afirmativo, determinar o limite de cada uma. O conteúdo principal envolve limites de sequência, uso do limite clássico de exponencial e propriedades de funções contínuas como o logaritmo e a arcotangente.

Passo 2

Analisando a sequência an=l(1+tfrac2nr)^n:
Usamos o resultado básico de que
limntoinftyl(1+xnr)^n=e^x
Aqui, tomando x=2, obtemos
limntoinftyan=e^2
Como o limite existe e é finito, a sequência converge para e^2.

Passo 3

Analisando a sequência an=arctgl(ln(n)r):
Primeiro notamos que ln(n)toinfty quando ntoinfty. Em seguida, usamos que a função arctg(x) é contínua e satisfaça
limxtoinftyarctg(x)=pi2
Pelo teorema da continuidade, obtemos
limntoinftyan=pi2
Portanto essa sequência também converge, com limite pi/2.

Resposta

Para an=l(1+tfrac2nr)^n, limntoinftyan=e^2. Para an=arctg(ln(n)), limntoinftyan=tfracpi2.

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