Resolva o problema de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente aquelas que envolvem derivadas de segunda ordem. Também vamos precisar integrar funções e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial para torná-la mais fácil de resolver. A equação é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar
. Isso significa que
, onde
é a derivada de
em relação a
. Substituindo na equação, temos:
Isso transforma nossa equação original em:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
. Podemos separar as variáveis:
Isso significa que vamos integrar ambos os lados da equação:
Passo 5
Vamos fazer as integrações:
onde
é a constante de integração. Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Lembre-se que
, então:
Passo 6
Vamos resolver para
. Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora, precisamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
onde
é outra constante de integração.
Passo 7
No entanto, para simplificar, podemos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. Sabemos que quando
,
e
. Vamos usar
quando
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 8
Com
, a equação para
fica:
Como estamos trabalhando com
, que é positivo, podemos simplificar para:
Agora, integramos
para encontrar
:
Passo 9
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: