Resolva o problema de valor inicial: y^prime prime y^prime-x=0, y(1)=2, y^prime(1)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
y'' y' - x = 0
com as condições iniciais:
y(1) = 2,
y'(1) = 1
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente aquelas que envolvem derivadas de segunda ordem. Também vamos precisar integrar funções e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial para torná-la mais fácil de resolver. A equação é:
y'' y' - x = 0
Podemos reescrever isso como:
y'' y' = x
Aqui, y'' representa a segunda derivada de y em relação a x, e y' é a primeira derivada.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar p = y'. Isso significa que y'' = p', onde p' é a derivada de p em relação a x. Substituindo na equação, temos:
p cdot p' = x
Isso transforma nossa equação original em:
p p' = x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para p. Podemos separar as variáveis:
p , dp = x , dx
Isso significa que vamos integrar ambos os lados da equação:
integral p , dp = integral x , dx

Passo 5

Vamos fazer as integrações:
12 p^2 = 12 x^2 + C
onde C é a constante de integração. Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
p^2 = x^2 + C
Lembre-se que p = y', então:
y'^2 = x^2 + C

Passo 6

Vamos resolver para y'. Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
y' = raizx^2 + C
Agora, precisamos encontrar a função y(x) integrando y' em relação a x:
y = integral raizx^2 + C , dx + D
onde D é outra constante de integração.

Passo 7

No entanto, para simplificar, podemos usar as condições iniciais para encontrar os valores de C e D. Sabemos que quando x = 1, y = 2 e y' = 1. Vamos usar y' = 1 quando x = 1:
1 = raiz1^2 + C
1 = raiz1 + C
Elevando ambos os lados ao quadrado:
1 = 1 + C
Subtraindo 1 de ambos os lados:
C = 0

Passo 8

Com C = 0, a equação para y' fica:
y' = raizx^2 = |x|
Como estamos trabalhando com x = 1, que é positivo, podemos simplificar para:
y' = x
Agora, integramos y' para encontrar y:
y = integral x , dx = 12x^2 + D

Passo 9

Usamos a condição inicial y(1) = 2 para encontrar D:
2 = 12(1)^2 + D
2 = 12 + D
Subtraindo 12 de ambos os lados:
D = 2 - 12 = 32

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = 12x^2 + 32

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