O enunciado pede para resolver o PVI y'' - 8y' + tfrac34y = 0 com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=tfrac12. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Lineares de 2º ordem com coeficientes constantes, e vamos precisar montar a equação característica para encontrar as raízes e assim obter a solução geral.
Passo 2
Para transformar a ED em algo algébrico, montamos a equação característica associada:
r^2 - 8r + tfrac34 = 0
Passo 3
Calculamos o discriminante e as raízes:
De
Logo as raízes são
r = 8 pm raiz612 = 4 pm raiz612
Passo 4
Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Passo 5
Precisamos da derivada para impor y'(0)=tfrac12. Derivando, temos
y'(x) = C1 r1 e^r1 x + C2 r2 e^r2 x
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais em x=0:
y(0):;C1 + C2 = 2, y'(0):;C1 r1 + C2 r2 = tfrac12
Passo 7
Resolvendo esse sistema para C1 e C2, usando r1 - r2 = raiz61 e r2 = 4 - tfracraiz612, obtemos
C1 = 1 - 152raiz61, C2 = 1 + 152raiz61
Passo 8
Finalmente, substituímos C1, C2, r1 e r2 na solução geral para ter a solução particular do PVI.