Resolva a equação
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A equação que temos é:
Essa é uma equação integral, mais especificamente do tipo de Volterra de segunda espécie. Para resolver isso, vamos transformar essa equação em uma equação diferencial, que é um tipo de equação que relaciona uma função com suas derivadas. Para isso, vamos precisar usar algumas regras de cálculo, como a derivação de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação está dizendo. Ela nos diz que a função $ f(x) $ é igual a 1 mais a integral de $ t f(t) $ de 0 até $ x $. Para simplificar essa expressão, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $.
Passo 3
Ao diferenciar o lado esquerdo, $ f(x) $, em relação a $ x $, obtemos a derivada de $ f $, que é $ f’(x) $.
No lado direito, temos uma constante, 1, cuja derivada é 0, e a integral $ \int_{0}^{x} t f(t) , dt $. Pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada dessa integral em relação a $ x $ é simplesmente substituindo $ x $ na função integranda. Portanto, a derivada de $ \int_{0}^{x} t f(t) , dt $ é $ x f(x) $.
Assim, a equação diferenciada fica:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial simples:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ f $ e $ x $ para integrar ambos os lados. Vamos rearranjar a equação:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integração do lado esquerdo é $ \ln |f(x)| $ e do lado direito é $ \frac{1}{2}x^2 + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Então:
Passo 6
Para resolver para $ f(x) $, vamos exponentiar ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aqui, $ e^C $ é apenas uma constante, que podemos chamar de $ A $. Então:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar o valor de $ A $. Para isso, usamos a condição inicial que podemos obter da equação original definindo $ x = 0 $:
Então, quando $ x = 0 $:
Portanto, $ A = 1 $.
Resposta
A solução da equação é: