Resolva a equação f(x)=1+integral0^x t f(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A equação que temos é:
f(x) = 1 + integral0^x t f(t) , dt
Essa é uma equação integral, mais especificamente do tipo de Volterra de segunda espécie. Para resolver isso, vamos transformar essa equação em uma equação diferencial, que é um tipo de equação que relaciona uma função com suas derivadas. Para isso, vamos precisar usar algumas regras de cálculo, como a derivação de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está dizendo. Ela nos diz que a função $ f(x) $ é igual a 1 mais a integral de $ t f(t) $ de 0 até $ x $. Para simplificar essa expressão, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $.

Passo 3

Ao diferenciar o lado esquerdo, $ f(x) $, em relação a $ x $, obtemos a derivada de $ f $, que é $ f’(x) $.
No lado direito, temos uma constante, 1, cuja derivada é 0, e a integral $ \int_{0}^{x} t f(t) , dt $. Pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada dessa integral em relação a $ x $ é simplesmente substituindo $ x $ na função integranda. Portanto, a derivada de $ \int_{0}^{x} t f(t) , dt $ é $ x f(x) $.
Assim, a equação diferenciada fica:
f(x)

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial simples:
f'(x) = x f(x)
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ f $ e $ x $ para integrar ambos os lados. Vamos rearranjar a equação:
f
Isso pode ser reescrito como:
x

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral 1f(x) , d f(x) = integral x , dx
A integração do lado esquerdo é $ \ln |f(x)| $ e do lado direito é $ \frac{1}{2}x^2 + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Então:
ln |f(x)|

Passo 6

Para resolver para $ f(x) $, vamos exponentiar ambos os lados para eliminar o logaritmo:
f(x)
Aqui, $ e^C $ é apenas uma constante, que podemos chamar de $ A $. Então:
f(x) = e^12x^2 + C = e^C cdot e^12x^2

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o valor de $ A $. Para isso, usamos a condição inicial que podemos obter da equação original definindo $ x = 0 $:
A
Então, quando $ x = 0 $:
x = 0
Portanto, $ A = 1 $.

Resposta

A solução da equação é:
f(x) = e^12x^2

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