Seja f(x, y)=ccx^3-y^2x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
Determione partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função $ f(x, y) $ definida de forma diferente quando f(x, y) é (x, y) e quando não é. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a definição de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição das derivadas parciais. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto f é o limite:
x
E similarly para $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Como a função é definida de maneira especial em (a, b), precisamos analisar as derivadas parciais nesse ponto. Para outros pontos partial fpartial x(a, b) = limh to 0 f(a+h, b) - f(a, b)h , a função é dada por $ f(x, y) = \frac{x^{3} - y{2}}{x{2} + y^{2}} $, e podemos derivar diretamente. Mas vamos focar em partial fpartial y .

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em partial fpartial x :
(0,0)
Sabemos que $ f(0, 0) = 0 $.
Calculando $ f(h, 0) $:
partial fpartial x(0, 0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h
Então,
f(0, 0) = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em partial fpartial y :
(0,0)
Novamente, $ f(0, 0) = 0 $.
Calculando $ f(0, k) $:
partial fpartial y(0, 0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k
Então,
f(0, 0) = 0
Esse limite não existe porque tende a f(0, k) quando $ k $ se aproxima de 0 pelo lado positivo e a $ +\infty $ quando pelo lado negativo. Portanto, a derivada parcial em relação a $ y $ em f(0, k) = 0^3 - k^20^2 + k^2 = -k^2k^2 = -1 não existe.

Resposta

partial fpartial x(0, 0) = 1 e partial fpartial y(0, 0) não existe ã

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