Seja
Determione
.
Determione
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função $ f(x, y) $ definida de forma diferente quando
é
e quando não é. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a definição de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição das derivadas parciais. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto
é o limite:
E similarly para $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Como a função é definida de maneira especial em
, precisamos analisar as derivadas parciais nesse ponto. Para outros pontos
, a função é dada por $ f(x, y) = \frac{x^{3} - y{2}}{x{2} + y^{2}} $, e podemos derivar diretamente. Mas vamos focar em
.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em
:
Sabemos que $ f(0, 0) = 0 $.
Calculando $ f(h, 0) $:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em
:
Novamente, $ f(0, 0) = 0 $.
Calculando $ f(0, k) $:
Então,
Esse limite não existe porque tende a
quando $ k $ se aproxima de 0 pelo lado positivo e a $ +\infty $ quando pelo lado negativo. Portanto, a derivada parcial em relação a $ y $ em
não existe.