Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a sequência
. Vamos estudar a convergência e, se existir, encontrar o limite. O tema aqui é limite de sequência, comparando crescimento polinomial versus crescimento exponencial.
Passo 2
Para mostrar convergência, aplicamos o teste da razão. Calculamos a razão entre termos consecutivos:
[
]
Agora avaliamos o limite dessa razão quando :
Agora avaliamos o limite dessa razão quando
[
]
Passo 3
Como o limite da razão é menor que 1, a sequência
converge para 0. Isso ocorre porque, a partir de certo ponto,
se comporta como uma progressão geométrica de razão menor que 1.
Passo 4
Intuição alternativa: para qualquer polinômio
e base exponencial maior que 1, temos
. No nosso caso,
e
, então
.
Resposta
0