Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
n^22^n

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a sequência an = n^22^n. Vamos estudar a convergência e, se existir, encontrar o limite. O tema aqui é limite de sequência, comparando crescimento polinomial versus crescimento exponencial.

Passo 2

Para mostrar convergência, aplicamos o teste da razão. Calculamos a razão entre termos consecutivos:
[ an+1an = (n+1)^22^n+1n^22^n = (n+1)^22,n^2
]
Agora avaliamos o limite dessa razão quando n to infty:
[ limntoinfty (n+1)^22,n^2 = 12 < 1
]

Passo 3

Como o limite da razão é menor que 1, a sequência an converge para 0. Isso ocorre porque, a partir de certo ponto, an se comporta como uma progressão geométrica de razão menor que 1.

Passo 4

Intuição alternativa: para qualquer polinômio n^k e base exponencial maior que 1, temos limntoinfty n^ka^n = 0. No nosso caso, k=2 e a=2, então anto 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados