Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=(-1)^n ln nn^2+1

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Estamos com a sequência an = (-1)^n ln nn^2 + 1. O tema é limite de sequência, e vamos precisar comparar o crescimento de ln n com o de n^2 para ver se o termo vai a zero.

Passo 2

Analisando o módulo: Note que |an| = ln nn^2 + 1. Se mostrarmos que |an|to 0, o termo original também tende a zero em razão do fator alternante (-1)^n.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital ao limite contínuo equivalente: Considerando f(x)=ln xx^2, temos
limxtoinfty f(x) = limxtoinfty ln xx^2 = limxtoinfty 1/x2x = limxtoinfty 12x^2 = 0
Logo limntoinfty|an| = 0.

Passo 4

Conclusão: Como (-1)^n é apenas pm1 e o fator ln nn^2+1 vai a zero, o produto an também tende a zero. Assim, a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

0

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