Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=cos ^n n2^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência an=cos^n n2^n converge ou diverge e, caso converja, encontrar seu limite. O conteúdo envolve análise de sequências e comportamento de potências quando a base tem módulo menor que 1.

Passo 2

Reescrevemos an como uma potência de um único termo. Observamos que
an=cos^n n2^n=l(cos n2r)^n

Passo 3

Para analisar a convergência, usamos a propriedade de sequências geométricas: se r é constante e |r|<1, então r^nto0. Aqui temos
rn=cos n2coml|rnr|=|cos n|2<=12<1

Passo 4

Logo, mesmo variando, todo termo rn satisfaz |rn|<1, e aplicações do teste da raiz ou da comparação direta com (1/2)^n garantem que
limntoinftyan=limntoinftyl(tfraccos n2r)^n=0

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

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