Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A gente precisa descobrir se a sequência $ a_n = \arctan(2n) $ converge ou diverge. Se ela convergir, queremos saber qual é o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções e entender como o arco-tangente se comporta quando o seu argumento cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função arco-tangente ($ \arctan $). Ela é a função inversa da tangente e nos dá o ângulo cujo tangente é um determinado número. Uma coisa importante sobre o $ \arctan(x) $ é que, conforme $ x $ fica muito grande (vai para $ +\infty $), o $ \arctan(x) $ se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $ (90 graus). Ou seja:
Passo 3
No nosso caso, a sequência é $ a_n = \arctan(2n) $. Vamos analisar o que acontece quando $ n $ cresce sem limite (ou seja, $ n \to +\infty $). O argumento da função arco-tangente aqui é $ 2n $, que também vai para $ +\infty $ conforme $ n $ aumenta.
Passo 4
Aplicando a regra que mencionamos, já que $ 2n $ tende a $ +\infty $, temos:
Resposta
A sequência $ a_n = \arctan(2n) $ converge e o seu limite é $ \frac{\pi}{2} $.