Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
(-1)^n n^2n^2+1

Passo 1

Resumo da questão: temos a sequência an = (-1)^n n^2n^2+1. O tema é convergência de sequência; vamos usar limite de sequência racional e o comportamento da sequência ((-1)^n).

Passo 2

Limite da parte racional: defina bn = n^2n^2+1. Dividindo numerador e denominador por n^2) obtemos
bn = 11 + tfrac1n^2
Como tfrac1n^2 to 0 quando n to infty, segue limntoinfty bn = 1.

Passo 3

Análise do fator alternante: escrevemos an = (-1)^n cdot bn. Embora bnto1, a sequência (-1)^n) oscila entre 1 e -1 e portanto não tem limite.

Passo 4

Verificação por subsequências: para n=2k,
a2k = (+1),b2k to 1,
e para n=2k+1,
a2k+1 = (-1),b2k+1 to -1
Como os limites das subsequências são distintos, não há limite único para an, logo a sequência diverge.

Resposta

Diverge: o limite não existe, pois an oscila entre 1 e -1.

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