Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
nraizn^2+1

Passo 1

Resumo: temos a sequência an = nraizn^2+1. O que a gente precisa é determinar se ela converge ou diverge, e caso convirja, achar o limite. Isso envolve limites de sequência e técnicas de simplificação algébrica para ver o comportamento quando n fica grande.

Passo 2

Para simplificar an, dividimos numerador e denominador por n. Observe que:
sqrtn^2+1 = n,raiz1 + 1n^2
Substituindo na definição, fica:
an = nnraiz1 + 1n^2 = 1raiz1 + 1n^2

Passo 3

Agora, ao calcular o limite de 1raiz1 + 1/n^2 quando n to +infty, a fração 1/n^2 tende a zero e, como raizx é contínua, temos raiz1 + 1n^2 to 1. Logo,
limn to +infty an = 11 = 1

Passo 4

Conclusão: a sequência converge e o limite é 1.

Resposta

A sequência converge e limntoinfty nraizn^2+1 = 1.

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