Exercício 3. Para cada item abaixo, faça o que se pede utilizando coordenadas cilíndricas:
Calcule integral triplaE x^2 d V, onde E é o sólido que está dentro do cilindro x^2+y^2=1, acima do plano z=0 e abaixo do cone z^2=x^2+y^2.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral tripla integral triplaE x^2,dV em coordenadas cilíndricas, onde E é o sólido definido por x^2+y^2<=1, z>=0 e z^2=x^2+y^2. O assunto é mudança de variável em integrais múltiplas (coordenadas cilíndricas) e vamos precisar escrever x,y,z e dV nessas coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos as relações
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z, dV = r,dr,dtheta,dz
Os limites do sólido são
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, 0<= z<= r pois o cilindro dá r<=1, o plano inferior é z=0 e o cone dá z=r.

Passo 3

O integrando x^2 vira
x^2 = (rcostheta)^2 = r^2cos^2theta,
e o elemento de volume traz mais um r, resultando em
r^2cos^2theta cdot r = r^3cos^2theta

Passo 4

Montamos então a integral como
integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^r r^3cos^2theta,dz,dr,dtheta
Podemos separar a parte que depende de z, de r e de theta.

Passo 5

Primeiro integramos em z: isso só dá um fator r (pois o integrando não depende de z), então
integralz=0^r r^3cos^2theta,dz = r^3cos^2theta cdot (r-0) = r^4cos^2theta
Logo
integral triplaE x^2,dV = l(integral0^2picos^2theta,dthetar)l(integral0^1 r^4,drr)
Usando integral0^2picos^2theta,dtheta=pi e integral0^1 r^4,dr=1/5, temos o resultado final.

Passo 6

Multiplicando dá
pi times 15 = pi5

Resposta

pi5

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