Exercício 3. Para cada item abaixo, faça o que se pede utilizando coordenadas cilíndricas:
Calcule
, onde
é o sólido que está dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Calcule
Passo 1
A questão pede para calcular a integral tripla
em coordenadas cilíndricas, onde
é o sólido definido por
,
e
. O assunto é mudança de variável em integrais múltiplas (coordenadas cilíndricas) e vamos precisar escrever
e
nessas coordenadas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos as relações
Os limites do sólido são
Passo 3
O integrando
vira
e o elemento de volume traz mais um
, resultando em
Passo 4
Montamos então a integral como
Podemos separar a parte que depende de
, de
e de
.
Passo 5
Primeiro integramos em
: isso só dá um fator
(pois o integrando não depende de
), então
Logo
Usando
e
, temos o resultado final.
Passo 6
Multiplicando dá