Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(9) an=(2 n-1)!(2 n+1)!
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(10) an=sen(n)

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas sequências e verificar se cada uma converge ou diverge, e em caso de convergência encontrar o limite. O conteúdo envolve manipulação de fatoriais e cálculo de limite de sequência, além de discussão sobre comportamento da função seno em argumentos inteiros.

Passo 2

Vamos primeiro simplificar a sequência an=(2n-1)!(2n+1)!. Usando a propriedade de fatorial temos:
(2n+1)!=(2n+1),(2n),(2n-1)!
Logo,
an=(2n-1)!(2n+1)!=1(2n+1),(2n)

Passo 3

Agora calculamos o limite quando ntoinfty. O denominador cresce sem limite, então
limntoinftyan=limntoinfty12n(2n+1)=0

Passo 4

Para a sequência an=sin(n), note que n está em radianos e não há periodicidade exata com múltiplos inteiros de 2pi. O valor de sin(n) oscila de forma densa em [-1,1] sem se aproximar de um único valor.
Portanto, a sequência sin(n) não converge.

Resposta

Para an=(2n-1)!(2n+1)!, a sequência converge e o limite é 0.
Para an=sin(n), a sequência diverge (não possui limite).

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