Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
4+sen n pi2

Passo 1

O enunciado é: temos a sequência an = 4 + sinl(tfracnpi2r). O conteúdo envolve limites de sequência e vamos precisar ver se existe um único número L tal que anto L quando ntoinfty.
Para uma sequência convergir, tem que existir um L fixo de modo que, para qualquer varepsilon>0, todos os termos a partir de um certo índice fiquem dentro de (L-varepsilon,,L+varepsilon). Se os termos continuarem pulando entre valores distintos indefinidamente, não há convergência.

Passo 2

Vamos analisar o termo sinl(tfracnpi2r) calculando para n=1,2,3,4 e ver o padrão cíclico:
  • Para n=1: sin(tfracpi2)=1, logo a1=4+1=5.
  • Para n=2: sin(pi)=0, logo a2=4+0=4.
  • Para n=3: sin(tfrac3pi2)=-1, logo a3=4-1=3.
  • Para n=4: sin(2pi)=0, logo a4=4+0=4.

Passo 3

A sequência repete esse ciclo de valores 5,4,3,4,5,4,3,4,dots. Como os termos não se aproximam de um único valor mas oscilam entre 3, 4 e 5, não satisfazem a definição de convergência.

Resposta

A sequência diverge, pois seus termos oscilam ciclicamente entre 3, 4 e 5 sem se aproximar de um único limite.

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