Sobre a função f(x)=2 xx-1 restrita ao intervalo (1,+infty), podemos concluir que:
f é decrescente e côncava para cima.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a monotonicidade e a concavidade da função f(x)=2xx-1 restrita ao intervalo (1,+infty). Para isso, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas e estudar seus sinais.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente para derivar f(x)=2xx-1, temos
f'(x)=2,(x-1)-2xcdot1(x-1)^2=2x-2-2x(x-1)^2= -2(x-1)^2
Como em (1,+infty) temos x-1>0, o denominador é positivo e, portanto, f'(x)<0. Isso mostra que f é decrescente nesse intervalo.

Passo 3

Para obter a concavidade, derivamos novamente:
f''(x)=ddxl(-2(x-1)^-2r) = -2cdot(-2)(x-1)^-3 = 4(x-1)^3
Como (x-1)^3>0 em (1,+infty), temos f''(x)>0, o que prova que f é côncava para cima.

Resposta

A função é decrescente e côncava para cima em (1,+infty).

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